Maths
mat3_1600_00_33C
Utiliser la géométrie plane pour démontrer
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Sujet inédit • Espace et géométrie
Exercice • 7 points
Voile d'un bateau
Un centre nautique souhaite effectuer une réparation sur une voile.
La voile a la forme du triangle PMW ci-dessous.
▶ 1. On souhaite faire une couture suivant le segment [CT].
a) Si (CT) est parallèle à (MW), quelle sera la longueur de cette couture ?
b) La quantité de fil nécessaire est le double de la longueur de la couture.
Est-ce que 7 mètres de fil suffiront ?
▶ 2. Une fois la couture terminée, on mesure PT = 1,88 m et PW = 2,30 m.
La couture est-elle parallèle à (MW) ?
Les clés du sujet
Points du programme
Théorème direct et réciproque de Thalès.
Nos coups de pouce
▶ 1. Applique le théorème de Thalès aux droites sécantes (PM) et (PW) coupées par les parallèles (CT) et (MW).
▶ 2. Calcule le double de la longueur CT trouvée à la question précédente.
▶ 3. Applique la réciproque du théorème de Thalès pour démontrer si les droites (CT) et (MW) sont parallèles.
Corrigé
▶ 1. a) On applique le théorème de Thalès aux droites (PM) et (PW) sécantes en P. (CT) est parallèle à (MW). Le point C appartient à (PM) et le point T appartient à (PW).
On a :
.
La longueur de cette couture est 3,06 m.
b) La quantité de fil nécessaire est le double de la longueur de la couture. On a 3,06 × 2 = 6,12. Il faut donc 6,12 m.
7 mètres de fil suffiront.
▶ 2. On applique la réciproque du théorème de Thalès aux droites (PM) et (PW) sécantes en P.
Les points P, T et W d'une part, les points P, C et M d'autre part sont alignés dans cet ordre. On a 
et 
.
Les rapports ne sont pas égaux, la couture n'est pas parallèle à (MW).