Voile d’un bateau

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Annales corrigées
Classe(s) : 3e | Thème(s) : Utiliser la géométrie plane pour démontrer
Type : Exercice | Année : 2016 | Académie : Inédit


Sujet inédit • Espace et géométrie

Exercice • 7 points

Voile d’un bateau

Un centre nautique souhaite effectuer une réparation sur une voile.

La voile a la forme du triangle PMW ci-dessous.

mat3_1600_00_33C_01

▶ 1. On souhaite faire une couture suivant le segment [CT].

a) Si (CT) est parallèle à (MW), quelle sera la longueur de cette couture ?

b) La quantité de fil nécessaire est le double de la longueur de la couture.

Est-ce que 7 mètres de fil suffiront ?

▶ 2. Une fois la couture terminée, on mesure PT = 1,88 m et PW = 2,30 m.

La couture est-elle parallèle à (MW) ?

Les clés du sujet

Points du programme

Théorème direct et réciproque de Thalès.

Nos coups de pouce

 1. Applique le théorème de Thalès aux droites sécantes (PM) et (PW) coupées par les parallèles (CT) et (MW).

 2. Calcule le double de la longueur CT trouvée à la question précédente.

 3. Applique la réciproque du théorème de Thalès pour démontrer si les droites (CT) et (MW) sont parallèles.

Corrigé

Corrigé

▶ 1. a) On applique le théorème de Thalès aux droites (PM) et (PW) sécantes en P. (CT) est parallèle à (MW). Le point C appartient à (PM) et le point T appartient à (PW).

On a :

4559075-Eqn1

4559075-Eqn2

4559075-Eqn3

4559075-Eqn4

4559075-Eqn6.

La longueur de cette couture est 3,06 m.

b) La quantité de fil nécessaire est le double de la longueur de la couture. On a 3,06 × 2 = 6,12. Il faut donc 6,12 m.

7 mètres de fil suffiront.

▶ 2. On applique la réciproque du théorème de Thalès aux droites (PM) et (PW) sécantes en P.

Les points P, T et W d’une part, les points P, C et M d’autre part sont alignés dans cet ordre. On a 4559075-Eqn7 et 4559075-Eqn8.

Les rapports ne sont pas égaux, la couture n’est pas parallèle à (MW).