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Volume d'un tétraèdre

Équations de droites et de plans

Volume d'un tétraèdre

1 heure

5 points

Intérêt du sujet  Une base, une hauteur, c'est tout ce qu'il faut pour calculer le volume d'un tétraèdre ! Ou l'aire d'un triangle !

 

Dans l'espace muni du repère orthonormé (O;i,j,k) d'unité 1 cm, on considère les points A, B, C et D de coordonnées respectives (2 ; 1 ; 4), (4 ; –1 ; 0), (0 ; 3 ; 2) et (4 ; 3 ; –2).

1. Déterminer une représentation paramétrique de la droite (CD).

2. Soit M un point de la droite (CD).

a) Déterminer les coordonnées du point M tel que la distance BM soit minimale.

b) On note H le point de la droite (CD) ayant pour coordonnées (3 ; 3 ; –1).

Vérifier que les droites (BH) et (CD) sont perpendiculaires.

c) Montrer que l'aire du triangle BCD est égale à 12 cm2.

3. a) Démontrer que le vecteur n2;1;2 est un vecteur normal au plan (BCD).

b) Déterminer une équation cartésienne du plan (BCD).

c) Déterminer une représentation paramétrique de la droite ∆ passant par A et orthogonale au plan (BCD).

d) Démontrer que le point I, intersection de la droite ∆ et du plan (BCD), a pour coordonnées 23 ; 13 ; 83.

4. Calculer le volume du tétraèdre ABCD.

Les clés du sujet

2. a) Exprimez la longueur BM en fonction du paramètre choisi dans la représentation paramétrique de la question 1. Faites apparaître la forme canonique du trinôme du second degré obtenu pour minimiser BM et concluez.

3. a) Démontrez que le vecteur n est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan (BCD) et concluez.

d) Résolvez un système d'équations avec une représentation paramétrique de ∆ et une équation cartésienne de (BCD) pour déterminer les coordonnées du point I.

1. Déterminer une représentation paramétrique d'une droite

Le vecteur CDxDxC=40=4yDyC=33=0zDzC=22=4 est un vecteur directeur de la droite (CD) et C(0 ; 3 ; 2) est un point de (CD). Une représentation paramétrique de (CD) est donc :

CD:x=0+4t=4ty=3+0t=3,  tz=24t.

2. a) Déterminer les coordonnées d'un point pour optimiser une distance

M(CD) donc M a pour coordonnées (4t;3;24t), t ∈ ℝ.

matT_1805_12_01C_198_Eqn_5502

Pour tout t ∈ ℝ, 32(t0,75)2+1818 donc, puisque la fonction racine carrée est strictement croissante sur [0 ; + [, on en déduit que BM=32(t0,75)2+1818.

De plus, pour t = 0,75, on a BM=32(t0,75)2+18=18.

Par conséquent, BM est minimale pour t = 0,75.

Les coordonnées de M sont alors : (4×0,75;3;24×0,75)=(3;3;1).

b) Vérifier que deux droites sont perpendiculaires

On a BHxHxB=34=1yHyB=3(1)=4zHzB=10=1 et CD404 d'après la question 1.

On en déduit que BHCD=1×4+4×0+(1)×(4)=0.

Les vecteurs BH et CD sont donc orthogonaux. Il en résulte que les droites (BH) et (CD) sont orthogonales.

Le point H est sur la droite (CD) d'après la question 2. a) ; on en déduit que les droites (BH) et (CD) sont sécantes en H.

Des deux points ci-dessus, on en déduit que (BH) et (CD) sont perpendiculaires.

c) Calculer l'aire d'un triangle

D'après les questions précédentes, (BH) et (CD) sont perpendiculaires et le point H est sur (CD). Par conséquent, la droite (BH) est une hauteur du triangle BCD et l'aire du triangle BCD est donnée par : aire(BCD)=BH×CD2.

D'après la question 2. a), BH=18=32. En exploitant les coordonnées du vecteur CD(4;0;4), nous obtenons :

CD=CD=42+02+(4)2=32=42.

Finalement :

aire(BCD)=BH×CD2==32×422=12cm2.

3. a) Démontrer qu'un vecteur est normal à un plan

On a BCxCxB=04=4yCyB=3(1)=4zCzB=20=2 et CD404.

Les coordonnées des vecteurs BC et CD ne sont pas proportionnelles donc les vecteurs BC et CD ne sont pas colinéaires.

On a : nBC=2×(4)+1×4+2×2=0 donc les vecteurs n et BC sont orthogonaux.

On a : nCD=2×4+1×0+2×(4)=0 donc les vecteurs n et CD sont orthogonaux.

D'après les trois points ci-dessus, on constate que le vecteur n est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan (BCD) que sont les vecteurs BC et CD. Par conséquent, le vecteur n est un vecteur normal au plan (BCD).

b) Déterminer une équation cartésienne d'un plan

D'après la question précédente, le vecteur n est un vecteur normal au plan (BCD). Une équation cartésienne du plan (BCD) est donc 2xy + 2zd = 0 où d est un réel à déterminer. Comme le point C appartient au plan (BCD), on peut en déduire que 2xCyC + 2zCd = 0 ce qui donne 2 × 0 + 3 + 2 × 2 + d = 0 et finalement d = - 7.

Une équation cartésienne du plan (BCD) est donc 2x+y+2z7=0.

c) Déterminer une représentation paramétrique d'une droite

La droite ∆ est orthogonale au plan (BCD). Le vecteur n(2;1;2), normal au plan (BCD), est donc un vecteur directeur de ∆. Le point A(2 ; 1 ; 4) appartenant à la droite ∆, on en déduit une représentation paramétrique de la droite ∆ :

:x=2+2ty=1+1t=1+t,   tz=4+2t.

d) Déterminer les coordonnées d'un point d'intersection

I(BCD)x=2+2ty=1+tz=4+2t2x+y+2z7=0x=2+2ty=1+tz=4+2t2×(2+2t)+(1+t)+2×(4+2t)7=0

x=2+2ty=1+tz=4+2t9t=6x=2+2×23=23y=1+23=13z=4+2×23=83t=23

Le point I a pour coordonnées 23;13;83.

4. Calculer le volume d'un tétraèdre

La droite ∆ est orthogonale au plan (BCD) et passe par le point A. Le volume du tétraèdre ABCD est donc donné par :

volume(ABCD)=13×aire(BCD)×AI.

On a : AI=(xIxA)2+(yIyA)2+(zIzA)2=2322+1312+8342=432+232+432=369=4=2cm.

Par conséquent : volume(ABCD)=13×12×2=8cm3.

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