▶ 1. Déterminer une représentation paramétrique d'une droite

Le vecteur $\overrightarrow{\text{CD}}\left|\begin{array}{l}{x}_{\text{D}}-x_{\text{C}}=4-0=4\\ y_{\text{D}}-y_{\text{C}}=3-3=0\\ z_{\text{D}}-z_{\text{C}}=-2-2=-4\end{array}\right.$ est un vecteur directeur de la droite (CD) et C(0 ; 3 ; 2) est un point de (CD). Une représentation paramétrique de (CD) est donc :

$\left(\text{CD}\right):\left\{\begin{array}{l}x=0+4t=4t\\ y=3+0t=3,t\in \text{ℝ}\\ z=2-4t\end{array}\right..$

▶ 2. a) Déterminer les coordonnées d'un point pour optimiser une distance

$\text{M}\in (\text{CD})$ donc M a pour coordonnées $(4t;\text{3};\text{2}-4t)$, t ∈ ℝ.

Pour tout t ∈ ℝ, $32{(t-\mathrm{0,75})}^2+18\ge 18$ donc, puisque la fonction racine carrée est strictement croissante sur [0 ; + ∞[, on en déduit que $\text{BM}=\sqrt[]{32{(t-\mathrm{0,75})}^2+18}\ge \sqrt[]{18}$.

De plus, pour t = 0,75, on a $\text{BM}=\sqrt[]{32{(t-\mathrm{0,75})}^2+18}=\sqrt[]{18}$.

Par conséquent, BM est minimale pour t = 0,75.

Les coordonnées de M sont alors : $(4\times \text{0,75};\text{3};\text{2}-4\times \mathrm{0,75})=(\text{3};\text{3};-1)$.

b) Vérifier que deux droites sont perpendiculaires

On a $\overrightarrow{\text{BH}}\left|\begin{array}{l}{x}_{\text{H}}-x_{\text{B}}=3-4=-1\\ y_{\text{H}}-y_{\text{B}}=3-(-1)=4\\ z_{\text{H}}-z_{\text{B}}=-1-0=-1\end{array}\right.$ et $\overrightarrow{\text{CD}}\left|\begin{array}{l}4\\ 0\\ -4\end{array}\right.$ d'après la question 1.

On en déduit que $\overrightarrow{\text{BH}}\cdot \overrightarrow{\text{CD}}=-1\times 4+4\times 0+(-1)\times (-4)=0$.

Les vecteurs $\overrightarrow{\text{BH}}$ et $\overrightarrow{\text{CD}}$ sont donc orthogonaux. Il en résulte que les droites (BH) et (CD) sont orthogonales.

Le point H est sur la droite (CD) d'après la question 2. a) ; on en déduit que les droites (BH) et (CD) sont sécantes en H.

Des deux points ci-dessus, on en déduit que (BH) et (CD) sont perpendiculaires.

c) Calculer l'aire d'un triangle

D'après les questions précédentes, (BH) et (CD) sont perpendiculaires et le point H est sur (CD). Par conséquent, la droite (BH) est une hauteur du triangle BCD et l'aire du triangle BCD est donnée par : $\text{aire}(\text{BCD})=\frac{\text{BH}\times \text{CD}}{2}$.

D'après la question 2. a), $\text{BH}=\sqrt[]{18}=3\sqrt[]{2}$. En exploitant les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{\text{CD}}(4;0;-4)$, nous obtenons :

$\text{CD}=‖\overrightarrow{\text{CD}}‖=\sqrt[]{4^2+0^2+{(-4)}^2}=\sqrt[]{32}=4\sqrt[]{2}$.

Finalement :

$\text{aire}(\text{BCD})=\frac{\text{BH}\times \text{CD}}{2}==\frac{3\sqrt[]{2}\times 4\sqrt[]{2}}{2}=12{\text{cm}}^2$.

▶ 3. a) Démontrer qu'un vecteur est normal à un plan

On a $\overrightarrow{\text{BC}}\left|\begin{array}{l}{x}_{\text{C}}-x_{\text{B}}=0-4=-4\\ y_{\text{C}}-y_{\text{B}}=3-(-1)=4\\ z_{\text{C}}-z_{\text{B}}=2-0=2\end{array}\right.$ et $\overrightarrow{\text{CD}}\left|\begin{array}{l}4\\ 0\\ -4\end{array}\right.$.

Les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{\text{BC}}$ et $\overrightarrow{\text{CD}}$ ne sont pas proportionnelles donc les vecteurs $\overrightarrow{\text{BC}}$ et $\overrightarrow{\text{CD}}$ ne sont pas colinéaires.

On a : $\overrightarrow{n}\cdot \overrightarrow{\text{BC}}=2\times (-4)+1\times 4+2\times 2=0$ donc les vecteurs $\overrightarrow{n}$ et $\overrightarrow{\text{BC}}$ sont orthogonaux.

On a : $\overrightarrow{n}\cdot \overrightarrow{\text{CD}}=2\times 4+1\times 0+2\times (-4)=0$ donc les vecteurs $\overrightarrow{n}$ et $\overrightarrow{\text{CD}}$ sont orthogonaux.

D'après les trois points ci-dessus, on constate que le vecteur $\overrightarrow{n}$ est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan (BCD) que sont les vecteurs $\overrightarrow{\text{BC}}$ et $\overrightarrow{\text{CD}}$. Par conséquent, le vecteur $\overrightarrow{n}$ est un vecteur normal au plan (BCD).

b) Déterminer une équation cartésienne d'un plan

D'après la question précédente, le vecteur $\overrightarrow{n}$ est un vecteur normal au plan (BCD). Une équation cartésienne du plan (BCD) est donc 2x + y + 2z + d = 0 où d est un réel à déterminer. Comme le point C appartient au plan (BCD), on peut en déduire que 2x_C + y_C + 2z_C + d = 0 ce qui donne 2 × 0 + 3 + 2 × 2 + d = 0 et finalement d = - 7.

Une équation cartésienne du plan (BCD) est donc $2x+y+2z-7=0$.

c) Déterminer une représentation paramétrique d'une droite

La droite ∆ est orthogonale au plan (BCD). Le vecteur $\overrightarrow{n}(2;1;2)$, normal au plan (BCD), est donc un vecteur directeur de ∆. Le point A(2 ; 1 ; 4) appartenant à la droite ∆, on en déduit une représentation paramétrique de la droite ∆ :

$∆:\left\{\begin{array}{l}x=2+2t\\ y=1+1t=1+t,t\in \text{ℝ}\\ z=4+2t\end{array}\right..$

d) Déterminer les coordonnées d'un point d'intersection

$\begin{array}{l}\text{I}\in ∆\cap (\text{BCD})\iff \left\{\begin{array}{l}x=2+2t\\ y=1+t\\ z=4+2t\\ 2x+y+2z-7=0\end{array}\right.\\ \iff \left\{\begin{array}{l}x=2+2t\\ y=1+t\\ z=4+2t\\ 2\times (2+2t)+(1+t)+2\times (4+2t)-7=0\end{array}\right.\end{array}$

$\iff \left\{\begin{array}{l}x=2+2t\\ y=1+t\\ z=4+2t\\ 9t=-6\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=2+2\times \left(-\frac{2}{3}\right)=\frac{2}{3}\\ y=1+\left(-\frac{2}{3}\right)=\frac{1}{3}\\ z=4+2\times \left(-\frac{2}{3}\right)=\frac{8}{3}\\ t=-\frac{2}{3}\end{array}\right.$

Le point I a pour coordonnées $\left(\frac{2}{3};\frac{1}{3};\frac{8}{3}\right).$

▶ 4. Calculer le volume d'un tétraèdre

La droite ∆ est orthogonale au plan (BCD) et passe par le point A. Le volume du tétraèdre ABCD est donc donné par :

$\text{volume}(\text{ABCD})=\frac{1}{3}\times \text{aire}(\text{BCD})\times \text{AI}$.

On a : $\begin{array}{c}\text{AI}=\sqrt[]{{(x_{\text{I}}-x_{\text{A}})}^2+{(y_{\text{I}}-y_{\text{A}})}^2+{(z_{\text{I}}-z_{\text{A}})}^2}\\ =\sqrt[]{{\left(\frac{2}{3}-2\right)}^2+{\left(\frac{1}{3}-1\right)}^2+{\left(\frac{8}{3}-4\right)}^2}\\ =\sqrt[]{{\left(-\frac{4}{3}\right)}^2+{\left(-\frac{2}{3}\right)}^2+{\left(-\frac{4}{3}\right)}^2}=\sqrt[]{\frac{36}{9}}=\sqrt[]{4}=2\text{cm.}\end{array}$

Par conséquent : $\text{volume}(\text{ABCD})=\frac{1}{3}\times 12\times 2=8{\text{cm}}^3$.