▶ 1. Donner les coordonnées de trois points dans un repère de l’espace

Dans le repère $\left(\text{A} ; \overrightarrow{\text{AB}}, \overrightarrow{\text{AD}}, \overrightarrow{\text{AE}}\right)$, on a :

$\text{E}\left(\text{0 };\text{ 0 };1\right) ; \text{C}\left(\text{1 };\text{ 1 };0\right); \text{G}\left(\text{1 };\text{ 1 };1\right)$.

▶ 2. Déterminer une représentation paramétrique d’une droite

La droite (EC) passe par le point $\text{E}\left(\text{0 };\text{ 0 };1\right)$ et a pour vecteur directeur $\overrightarrow{\text{EC}}\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ -1\end{array}\right)$, donc elle a pour représentation paramétrique $\left\{\begin{array}{c}x=t\\ y=t, t\in \text{ℝ}\\ z=1-t\end{array}\right.$.

▶ 3. Montrer qu’une droite est orthogonale à un plan

La droite (EC) est orthogonale au plan (GBD) si et seulement si le vecteur $\overrightarrow{\text{EC}}$ est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires de ce plan, par exemple $\overrightarrow{\text{GB}}$ et $\overrightarrow{\text{GD}}$.

On a $\overrightarrow{\text{GB}}\left(\begin{array}{c}0\\ -1\\ -1\end{array}\right)$ et $\overrightarrow{\text{GD}}\left(\begin{array}{c}-1\\ 0\\ -1\end{array}\right)$, d’où $\overrightarrow{\text{EC}}\cdot \overrightarrow{\text{GB}}=0-1+1=0$ et $\overrightarrow{\text{EC}}\cdot \overrightarrow{\text{GD}}=-1+0+1=0$.

Donc la droite $\left(\text{EC}\right)$ est orthogonale au plan $\left(\text{GBD}\right)$.

▶ 4. a) Déterminer une équation cartésienne d’un plan

La droite (EC) est orthogonale au plan (GBD), donc le vecteur $\overrightarrow{\text{EC}}\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ -1\end{array}\right)$ est un vecteur normal à ce plan.

Le plan (GBD) a donc une équation cartésienne de la forme x + y - z + d = 0.

Le point $\text{B}\left(1 ; 0 ; 0\right)$ appartient à ce plan, donc ses coordonnées vérifient l’équation, soit 1 + d = 0 d’où d = - 1.

Le plan $\left(\text{GBD}\right)$ a pour équation cartésienne $x+y-z-1=0$.

b) Calculer les coordonnées d’un point

Le point I appartient au plan (GBD) et à la droite (EC), donc ses coordonnées sont de la forme (t ; t ; 1 - t), avec t ∈ ℝ, et vérifient l’équation cartésienne de (GBD) obtenue à la question précédente. D’où :

t + t - 1 + t - 1 = 0, soit $t=\frac{2}{3}$.

Dans (t ; t ; 1 - t), on remplace t par $\frac{2}{3}$, donc $\text{I}$ a pour coordonnées $\left(\frac{2}{3};\frac{2}{\text{ 3}};\frac{1}{3}\right)$.

c) Calculer la distance d’un point à un plan

La distance du point E au plan (GBD) est la distance de E à son projeté orthogonal sur (GBD).

Or, le point I est le point d’intersection du plan (GBD) et de la droite perpendiculaire à ce plan passant par E, donc I est le projeté orthogonal de E sur le plan (GBD).

La distance du point E au plan (GBD) est donc la distance EI.

$\text{EI}=\sqrt[]{\frac{4}{9}+\frac{4}{9}+\frac{4}{9}}=\sqrt[]{\frac{12}{9}}=\sqrt[]{\frac{4}{3}}=\frac{2}{\sqrt[]{3}}=\frac{2\sqrt[]{3}}{3}$.

La distance du point $\text{E}$ au plan $\left(\text{GBD}\right)$ est égale à $\frac{2\sqrt[]{3}}{3}$.

▶ 5. a) Justifier qu’un triangle est équilatéral

Les côtés du triangle BDG sont les diagonales de trois des faces du cube, qui sont des carrés de côté 1. Les trois côtés ont donc la même longueur, égale à $\sqrt[]{2}$, et donc $\text{BDG}$ est un triangle équilatéral.

b) Calculer l’aire d’un triangle

Soit $A$ l’aire du triangle BDG. Comme ce triangle est équilatéral, la hauteur issue de G est [GJ], avec J milieu de [BD].

On a donc $A=\frac{\text{BD}\times \text{GJ}}{2}$.

On sait que $\text{BD}=\sqrt[]{2}$ (diagonale d’un carré de côté 1).

On a $\text{B}\left(\text{1 };\text{ 0 };\text{ 0}\right)$ et $\text{D}\left(0;\text{ 1 };\text{ 0}\right)$, donc J a pour coordonnées $\left(\frac{1}{2};\frac{1}{2};\text{ 0}\right)$ et $\text{GJ}=\sqrt[]{\frac{1}{4}+\frac{1}{4}+1}=\sqrt[]{\frac{6}{4}}=\sqrt[]{\frac{3}{2}}=\frac{\sqrt[]{6}}{2}$.

D’où $A=\frac{\sqrt[]{2}\times \sqrt[]{6}}{4}=\frac{2\sqrt[]{3}}{4}=\frac{\sqrt[]{3}}{2}$.

L’aire du triangle $\text{BDG}$ vaut $\frac{\sqrt[]{3}}{2}$.

▶ 6. Calculer le volume d’un tétraèdre

Soit 𝒱 le volume du tétraèdre EGBD. On prend comme base la face BDG ; la hauteur correspondante est [EI] puisque I est le projeté orthogonal de E sur le plan (GBD), d’où $V=\frac{1}{3}A\times \text{EI}$.

D’après les calculs précédents, $V=\frac{1}{3}\times \frac{\sqrt[]{3}}{2}\times \frac{2\sqrt[]{3}}{3}=\frac{1}{3}$.

Le volume du tétraèdre $\text{EGBD}$est bien égal à $\frac{1}{3}$.