À vos tablettes !

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Probabilités conditionnelles
Type : Exercice | Année : 2015 | Académie : Amérique du Nord


Amérique du Nord • Juin 2015

Exercice 3 • 4 points

À vos tablettes !

Une entreprise fabrique des tablettes de chocolat de 100 grammes. Le service de contrôle qualité effectue plusieurs types de contrôle.

Partie A : Contrôle avant la mise sur le marché

Une tablette de chocolat doit peser 100 grammes avec une tolérance de deux grammes en plus ou en moins. Elle est donc mise sur le marché si sa masse est comprise entre 98 et 102 grammes.

La masse (exprimée en grammes) d’une tablette de chocolat peut être modélisée par une variable aléatoire X suivant la loi normale d’espérance µ = 100 et d’écart type σ = 1. Le réglage des machines de la chaîne de fabrication permet de modifier la valeur de σ.

1. Calculer la probabilité de l’événement M : « la tablette est mise sur le marché ».

2. On souhaite modifier le réglage des machines de telle sorte que la probabilité de cet événement atteigne 0,97.

Déterminer la valeur de σ pour que la probabilité de l’événement « la tablette est mise sur le marché » soit égale à 0,97.

Partie B : Contrôle à la réception

Le service contrôle la qualité des fèves de cacao livrées par les producteurs. Un des critères de qualité est le taux d’humidité qui doit être de 7 %. On dit alors que la fève est conforme. L’entreprise a trois fournisseurs différents : le premier fournisseur procure la moitié du stock de fèves, le deuxième 30 % et le dernier apporte 20 % du stock.

Pour le premier, 98 % de sa production respecte le taux d’humidité ; pour le deuxième, qui est un peu moins cher, 90 % de sa production est conforme, et le troisième fournit 20 % de fèves non conformes. On choisit au hasard une fève dans le stock reçu. On note Fi l’événement « la fève provient du fournisseur », pour i prenant les valeurs 1, 2 ou 3, et C l’événement « la fève est conforme ».

1. Déterminer la probabilité que la fève provienne du fournisseur 1, sachant qu’elle est conforme. Le résultat sera arrondi à 10–2.

2. Le troisième fournisseur ayant la plus forte proportion de fèves non conformes, l’entreprise décide de ne conserver que les fournisseurs 1 et 2. De plus, elle souhaite que 92 % de fèves qu’elle achète soient conformes. Quelle proportion p de fèves doit-elle acheter au fournisseur 1 pour atteindre cet objectif ?

Les clés du sujet

Durée conseillée : 60 minutes.

Les thèmes clés

Lois normales • Probabilités conditionnelles.

Les outils dont vous avez besoin

Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d’ouvrage.

Propriétés et formules

Probabilité conditionnelle  E35 Partie B, 1. et 2.

Arbre pondéré  E37 Partie B, 1. et 2.

Loi normale centrée réduite  E40c Partie A, 2.

Loi normale  E40d Partie A, 2.

Calculatrice

Probabilités avec la loi normale  C3 Partie A, 1. et 2.

Nos coups de pouce

Partie A

2. Introduisez la variable aléatoire 428018-Eqn30 centrée réduite associée à 428018-Eqn31 et traduisez la condition 428018-Eqn32 sous forme d’une équation faisant intervenir 428018-Eqn33 et 428018-Eqn34.

Utilisez enfin votre calculatrice pour résoudre l’équation obtenue et pour conclure.

Partie B

1. Traduisez la situation proposée à l’aide d’un arbre pondéré. Calculez les probabilités 428018-Eqn35 et 428018-Eqn36 et concluez.

Corrigé

Corrigé

Partie A : contrôle avant la mise sur le marché

1. Calculer une probabilité avec une loi normale

Première méthode

Notez bien

Si 428018-Eqn341 suit la loi normale d’espérance 428018-Eqn342 et d’écart type 428018-Eqn343 alors :

428018-Eqn344.

Calculons 428018-Eqn345. En remarquant que 428018-Eqn346 et 428018-Eqn347, nous avons :

428018-Eqn348

La probabilité qu’une tablette soit mise sur le marché est environ 0,954.

Deuxième méthode

Calculons 428018-Eqn349. En prenant en compte le fait que 428018-Eqn350 et 428018-Eqn351, nous avons :

TI 83 Plus.fr

CASIO GRAPH 75

matT_1506_02_02C_10

matT_1506_02_02C_11

À l’aide de la calculatrice, nous obtenons :

428018-Eqn352.

La probabilité qu’une tablette soit mise sur le marché est environ 0,954.

2. Déterminer la valeur d’un écart type

D’après l’énoncé, nous devons avoir 428018-Eqn353.

Par définition, la variable aléatoire 428018-Eqn354 suit la loi normale d’espérance 428018-Eqn355 et d’écart type 428018-Eqn356 si la variable aléatoire 428018-Eqn357 suit la loi normale centrée réduite.

428018-Eqn358

Nous devons donc résoudre l’équation d’inconnue 428018-Eqn359 : 428018-Eqn360428018-Eqn361 suit la loi normale centrée réduite. Cette équation équivaut à 428018-Eqn362.

Notez bien

Si 428018-Eqn363 suit la loi normale centrée réduite alors, pour tout réel 428018-Eqn364, il existe un unique réel positif 428018-Eqn365 tel que :

428018-Eqn366.

Si 428018-Eqn367 alors 428018-Eqn368 ;

si 428018-Eqn369 alors 428018-Eqn370.

Nous savons que si 428018-Eqn371 suit la loi normale centrée réduite, alors :

428018-Eqn372 et 428018-Eqn373.

La solution 428018-Eqn374 est donc à chercher dans l’intervalle 428018-Eqn375.

TI 83+

CASIO GRAPH 75

matT_1506_02_02C_12

matT_1506_02_02C_13

À l’aide de la calculatrice, nous obtenons 428018-Eqn376.

Par identification : 428018-Eqn377 et 428018-Eqn378.

La valeur de 428018-Eqn379 pour que la probabilité de l’événement « la tablette est mise sur le marché » soit égale à 0,97 est environ 0,922.

Partie B : contrôle à la réception

1. Déterminer une probabilité conditionnelle

Construisons un arbre pondéré qui traduit la situation proposée.

Le premier fournisseur procure la moitié du stock de fèves donc 428018-Eqn380.

Le deuxième fournisseur procure 30 % du stock de fèves donc 428018-Eqn381.

Le troisième fournisseur procure 20 % du stock de fèves donc 428018-Eqn382.

98 % de la production du premier producteur respecte le taux d’humidité de 7 % : la probabilité que la fève soit conforme sachant qu’elle provient du premier producteur est donc 428018-Eqn383.

90 % de la production du deuxième producteur respecte le taux d’humidité de 7 % : la probabilité que la fève soit conforme sachant qu’elle provient du deuxième producteur est donc 428018-Eqn384.

20 % de la production du troisième producteur n’est pas conforme, donc 80 % de la production respecte le taux d’humidité de 7 % : la probabilité que la fève soit conforme sachant qu’elle provient du troisième producteur est donc 428018-Eqn385.

On obtient ainsi l’arbre pondéré ci-dessous, où les probabilités non mentionnées précédemment s’obtiennent par le fait que la somme des probabilités placées sur les branches issues d’un même nœud est égale à 1.

matT_1506_02_02C_14

La probabilité demandée est la probabilité conditionnelle que la fève provienne du premier fournisseur, sachant qu’elle est conforme, c’est donc 428018-Eqn386.

Grâce à l’arbre pondéré, nous pouvons écrire :

428018-Eqn387.

Grâce au calcul précédent, nous avons aussi : 428018-Eqn388.

Finalement :

428018-Eqn389.

La probabilité conditionnelle que la fève provienne du fournisseur 1, sachant qu’elle est conforme, est donc d’environ 0,53.

2. Déterminer une proportion

Reprenons la situation de la question précédente en nous limitant ici aux deux premiers fournisseurs. Si la proportion de fèves achetées au fournisseur 1 est p, nous avons 428018-Eqn390. Ensuite 428018-Eqn391.

L’arbre pondéré associé à la situation proposée est donc le suivant :

matT_1506_02_02C_15

L’énoncé impose 428018-Eqn392. Grâce à l’arbre pondéré, nous pouvons écrire :

428018-Eqn393

Nous en déduisons :

428018-Eqn394.

L’entreprise doit acheter 25 % de fèves au fournisseur 1 pour atteindre l’objectif fixé de 92 % de fèves conformes.