À vos tablettes !

Merci !

Annales corrigées
Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Probabilités conditionnelles
Type : Exercice | Année : 2015 | Académie : Amérique du Nord


Amérique du Nord • Juin 2015

Exercice 3 • 4 points

À vos tablettes !

Une entreprise fabrique des tablettes de chocolat de 100 grammes. Le service de contrôle qualité effectue plusieurs types de contrôle.

Partie A : Contrôle avant la mise sur le marché

Une tablette de chocolat doit peser 100 grammes avec une tolérance de deux grammes en plus ou en moins. Elle est donc mise sur le marché si sa masse est comprise entre 98 et 102 grammes.

La masse (exprimée en grammes) d’une tablette de chocolat peut être modélisée par une variable aléatoire X suivant la loi normale d’espérance µ = 100 et d’écart type σ = 1. Le réglage des machines de la chaîne de fabrication permet de modifier la valeur de σ.

1. Calculer la probabilité de l’événement M : « la tablette est mise sur le marché ».

2. On souhaite modifier le réglage des machines de telle sorte que la probabilité de cet événement atteigne 0,97.

Déterminer la valeur de σ pour que la probabilité de l’événement « la tablette est mise sur le marché » soit égale à 0,97.

Partie B : Contrôle à la réception

Le service contrôle la qualité des fèves de cacao livrées par les producteurs. Un des critères de qualité est le taux d’humidité qui doit être de 7 %. On dit alors que la fève est conforme. L’entreprise a trois fournisseurs différents : le premier fournisseur procure la moitié du stock de fèves, le deuxième 30 % et le dernier apporte 20 % du stock.

Pour le premier, 98 % de sa production respecte le taux d’humidité ; pour le deuxième, qui est un peu moins cher, 90 % de sa production est conforme, et le troisième fournit 20 % de fèves non conformes. On choisit au hasard une fève dans le stock reçu. On note Fi l’événement « la fève provient du fournisseur », pour i prenant les valeurs 1, 2 ou 3, et C l’événement « la fève est conforme ».

1. Déterminer la probabilité que la fève provienne du fournisseur 1, sachant qu’elle est conforme. Le résultat sera arrondi à 10–2.

2. Le troisième fournisseur ayant la plus forte proportion de fèves non conformes, l’entreprise décide de ne conserver que les fournisseurs 1 et 2. De plus, elle souhaite que 92 % de fèves qu’elle achète soient conformes. Quelle proportion p de fèves doit-elle acheter au fournisseur 1 pour atteindre cet objectif ?

Les clés du sujet

Durée conseillée : 60 minutes.

Les thèmes clés

Lois normales • Probabilités conditionnelles.

Les outils dont vous avez besoin

Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d’ouvrage.

Propriétés et formules

Probabilité conditionnelle  E35 Partie B, 1. et 2.

Arbre pondéré  E37 Partie B, 1. et 2.

Loi normale centrée réduite  E40c Partie A, 2.

Loi normale  E40d Partie A, 2.

Calculatrice

Probabilités avec la loi normale  C3 Partie A, 1. et 2.

Nos coups de pouce

Partie A

2. Introduisez la variable aléatoire 428018-Eqn30 centrée réduite associée à 428018-Eqn31 et traduisez la condition 428018-Eqn32 sous forme d’une équation faisant intervenir 428018-Eqn33 et 428018-Eqn34.

Utilisez enfin votre calculatrice pour résoudre l’équation obtenue et pour conclure.

Partie B

1. Traduisez la situation proposée à l’aide d’un arbre pondéré. Calculez les probabilités 428018-Eqn35 et 428018-Eqn36 et concluez.