Probabilités conditionnelles
matT_1506_02_11C
Ens. spécifique
27
Amérique du Nord • Juin 2015
Exercice 3 • 4 points
À vos tablettes !
Une entreprise fabrique des tablettes de chocolat de 100 grammes. Le service de contrôle qualité effectue plusieurs types de contrôle.
Partie A : Contrôle avant la mise sur le marché
Une tablette de chocolat doit peser 100 grammes avec une tolérance de deux grammes en plus ou en moins. Elle est donc mise sur le marché si sa masse est comprise entre 98 et 102 grammes.
La masse (exprimée en grammes) d'une tablette de chocolat peut être modélisée par une variable aléatoire X suivant la loi normale d'espérance µ = 100 et d'écart type σ = 1. Le réglage des machines de la chaîne de fabrication permet de modifier la valeur de σ.
▶ 1. Calculer la probabilité de l'événement M : « la tablette est mise sur le marché ».
▶ 2. On souhaite modifier le réglage des machines de telle sorte que la probabilité de cet événement atteigne 0,97.
Déterminer la valeur de σ pour que la probabilité de l'événement « la tablette est mise sur le marché » soit égale à 0,97.
Partie B : Contrôle à la réception
Le service contrôle la qualité des fèves de cacao livrées par les producteurs. Un des critères de qualité est le taux d'humidité qui doit être de 7 %. On dit alors que la fève est conforme. L'entreprise a trois fournisseurs différents : le premier fournisseur procure la moitié du stock de fèves, le deuxième 30 % et le dernier apporte 20 % du stock.
Pour le premier, 98 % de sa production respecte le taux d'humidité pour le deuxième, qui est un peu moins cher, 90 % de sa production est conforme, et le troisième fournit 20 % de fèves non conformes. On choisit au hasard une fève dans le stock reçu. On note Fi l'événement « la fève provient du fournisseur i », pour i prenant les valeurs 1, 2 ou 3, et C l'événement « la fève est conforme ».
▶ 1. Déterminer la probabilité que la fève provienne du fournisseur 1, sachant qu'elle est conforme. Le résultat sera arrondi à 10–2.
▶ 2. Le troisième fournisseur ayant la plus forte proportion de fèves non conformes, l'entreprise décide de ne conserver que les fournisseurs 1 et 2. De plus, elle souhaite que 92 % de fèves qu'elle achète soient conformes. Quelle proportion p de fèves doit-elle acheter au fournisseur 1 pour atteindre cet objectif ?
Les clés du sujet
Durée conseillée : 60 minutes.
Les thèmes clés
Lois normales • Probabilités conditionnelles.
Les outils dont vous avez besoin
Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d'ouvrage.
Propriétés et formules
Probabilité conditionnelle E35 → Partie B, 1. et 2.
Arbre pondéré E37 → Partie B, 1. et 2.
Loi normale centrée réduite E40c → Partie A, 2.
Loi normale E40d → Partie A, 2.
Calculatrice
Probabilités avec la loi normale C3 → Partie A, 1. et 2.
Nos coups de pouce
Partie A
▶ 2. Introduisez la variable aléatoire 
centrée réduite associée à 
et traduisez la condition 
sous forme d'une équation faisant intervenir 
et 
.
Utilisez enfin votre calculatrice pour résoudre l'équation obtenue et pour conclure.
Partie B
▶ 1. Traduisez la situation proposée à l'aide d'un arbre pondéré. Calculez les probabilités 
et 
et concluez.
Corrigé
Partie A : contrôle avant la mise sur le marché
▶ 1. Calculer une probabilité avec une loi normale
Première méthode
Notez bien
Si 
suit la loi normale d'espérance 
et d'écart type 
alors :
.
Calculons 
. En remarquant que 
et 
, nous avons :
La probabilité qu'une tablette soit mise sur le marché est environ 0,954.
Deuxième méthode
Calculons 
. En prenant en compte le fait que 
et 
, nous avons :
| TI 83 Plus.fr | CASIO GRAPH 75 |
|
|
|
À l'aide de la calculatrice, nous obtenons :
.
La probabilité qu'une tablette soit mise sur le marché est environ 0,954.
▶ 2. Déterminer la valeur d'un écart type
D'après l'énoncé, nous devons avoir 
.
Par définition, la variable aléatoire 
suit la loi normale d'espérance 
et d'écart type 
si la variable aléatoire 
suit la loi normale centrée réduite.
Nous devons donc résoudre l'équation d'inconnue 
: 
où 
suit la loi normale centrée réduite. Cette équation équivaut à 
.
Notez bien
Si 
suit la loi normale centrée réduite alors, pour tout réel 
, il existe un unique réel positif 
tel que :
.
Si 
alors 
si 
alors 
.
Nous savons que si 
suit la loi normale centrée réduite, alors :
et 
.
La solution 
est donc à chercher dans l'intervalle 
.
| TI 83+ | CASIO GRAPH 75 |
|
|
|
À l'aide de la calculatrice, nous obtenons 
.
Par identification : 
et 
.
La valeur de 
pour que la probabilité de l'événement « la tablette est mise sur le marché » soit égale à 0,97 est environ 0,922.
Partie B : contrôle à la réception
▶ 1. Déterminer une probabilité conditionnelle
Construisons un arbre pondéré qui traduit la situation proposée.
Le premier fournisseur procure la moitié du stock de fèves donc 
.
Le deuxième fournisseur procure 30 % du stock de fèves donc 
.
Le troisième fournisseur procure 20 % du stock de fèves donc 
.
98 % de la production du premier producteur respecte le taux d'humidité de 7 % : la probabilité que la fève soit conforme sachant qu'elle provient du premier producteur est donc 
.
90 % de la production du deuxième producteur respecte le taux d'humidité de 7 % : la probabilité que la fève soit conforme sachant qu'elle provient du deuxième producteur est donc 
.
20 % de la production du troisième producteur n'est pas conforme, donc 80 % de la production respecte le taux d'humidité de 7 % : la probabilité que la fève soit conforme sachant qu'elle provient du troisième producteur est donc 
.
On obtient ainsi l'arbre pondéré ci-dessous, où les probabilités non mentionnées précédemment s'obtiennent par le fait que la somme des probabilités placées sur les branches issues d'un même nœud est égale à 1.
La probabilité demandée est la probabilité conditionnelle que la fève provienne du premier fournisseur, sachant qu'elle est conforme, c'est donc 
.
Grâce à l'arbre pondéré, nous pouvons écrire :
.
Grâce au calcul précédent, nous avons aussi : 
.
Finalement :
.
La probabilité conditionnelle que la fève provienne du fournisseur 1, sachant qu'elle est conforme, est donc d'environ 0,53.
▶ 2. Déterminer une proportion
Reprenons la situation de la question précédente en nous limitant ici aux deux premiers fournisseurs. Si la proportion de fèves achetées au fournisseur 1 est p, nous avons 
. Ensuite 
.
L'arbre pondéré associé à la situation proposée est donc le suivant :
L'énoncé impose 
. Grâce à l'arbre pondéré, nous pouvons écrire :
Nous en déduisons :
.
L'entreprise doit acheter 25 % de fèves au fournisseur 1 pour atteindre l'objectif fixé de 92 % de fèves conformes.