Vous avez dit complexes ?

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Nombres complexes et applications
Type : Exercice | Année : 2015 | Académie : France métropolitaine


France métropolitaine • Juin 2015

Exercice 3 • 5 points

Vous avez dit complexes ?

1. Résoudre dans l’ensemble des nombres complexes l’équation (E) d’inconnue :

z2 − 8z + 64 = 0.

Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé direct 645038-Eqn2.

2. On considère les points A, B et C d’affixes respectives 645038-Eqn3.

a) Calculer le module et un argument du nombre a.

b) Donner la forme exponentielle des nombres a et b.

c) Montrer que les points A, B et C sont sur un même cercle C de centre O dont on déterminera le rayon.

d) Placer les points A, B et C dans le repère 645038-Eqn4.

Pour la suite de l’exercice, on pourra s’aider de la figure de la question 2. d) complétée au fur et à mesure de l’avancement des questions.

3. On considère les points A′, B′ et C′ d’affixes respectives 645038-Eqn5, 645038-Eqn6 et 645038-Eqn7.

a) Montrer que b = 8.

b) Calculer le module et un argument du nombre a′.

Pour la suite on admet que 645038-Eqn8.

4. On admet que si M et N sont deux points du plan d’affixes respectives m et n alors le milieu I du segment [MN] a pour affixe 645038-Eqn9 et la longueur MN est égale à 645038-Eqn10.

a) On note r, s et t les affixes des milieux respectifs R, S et T des segments [A′B], [B′C] et [C′A].

Calculer r et s. On admet que 645038-Eqn11.

b) Quelle conjecture peut-on faire quant à la nature du triangle RST ? Justifier ce résultat.

Les clés du sujet

Durée conseillée : 60 minutes.

Les thèmes clés

Nombres complexes.

Les outils dont vous avez besoin

Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d’ouvrage.

Propriétés et formules

Équation du second degré E23 1.

Module d’un nombre complexe E18 2. a), b), c) et 3. b)

Argument d’un nombre complexe E19 2. a), b) et 3. b)

Forme exponentielle d’un nombre complexe E21 2. b), 3. a) et b)

Forme algébrique d’un nombre complexe E16 2. a), d) et 4. a)

Conjugué d’un nombre complexe E17 1. et 2. b)

Nombres complexes et géométrie E22 2. c), 4. a) et b)

Calculatrice

Calculs avec les nombres complexes C4 2. a), c), 4. a) et b)

Nos coups de pouce

4. b) Complétez la figure de la question 2. d) en plaçant les points A′, B′, C′, R, S et T. Conjecturez à partir de cette figure la nature du triangle RST. Validez ou corrigez cette conjecture en calculant les distances RS, RT et ST.