Vous avez dit complexes ?

Merci !

Annales corrigées
Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Nombres complexes et applications
Type : Exercice | Année : 2015 | Académie : France métropolitaine


France métropolitaine • Juin 2015

Exercice 3 • 5 points

Vous avez dit complexes ?

1. Résoudre dans l’ensemble des nombres complexes l’équation (E) d’inconnue :

z2 − 8z + 64 = 0.

Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé direct 645038-Eqn2.

2. On considère les points A, B et C d’affixes respectives 645038-Eqn3.

a) Calculer le module et un argument du nombre a.

b) Donner la forme exponentielle des nombres a et b.

c) Montrer que les points A, B et C sont sur un même cercle C de centre O dont on déterminera le rayon.

d) Placer les points A, B et C dans le repère 645038-Eqn4.

Pour la suite de l’exercice, on pourra s’aider de la figure de la question 2. d) complétée au fur et à mesure de l’avancement des questions.

3. On considère les points A′, B′ et C′ d’affixes respectives 645038-Eqn5, 645038-Eqn6 et 645038-Eqn7.

a) Montrer que b = 8.

b) Calculer le module et un argument du nombre a′.

Pour la suite on admet que 645038-Eqn8.

4. On admet que si M et N sont deux points du plan d’affixes respectives m et n alors le milieu I du segment [MN] a pour affixe 645038-Eqn9 et la longueur MN est égale à 645038-Eqn10.

a) On note r, s et t les affixes des milieux respectifs R, S et T des segments [A′B], [B′C] et [C′A].

Calculer r et s. On admet que 645038-Eqn11.

b) Quelle conjecture peut-on faire quant à la nature du triangle RST ? Justifier ce résultat.

Les clés du sujet

Durée conseillée : 60 minutes.

Les thèmes clés

Nombres complexes.

Les outils dont vous avez besoin

Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d’ouvrage.

Propriétés et formules

Équation du second degré E23 1.

Module d’un nombre complexe E18 2. a), b), c) et 3. b)

Argument d’un nombre complexe E19 2. a), b) et 3. b)

Forme exponentielle d’un nombre complexe E21 2. b), 3. a) et b)

Forme algébrique d’un nombre complexe E16 2. a), d) et 4. a)

Conjugué d’un nombre complexe E17 1. et 2. b)

Nombres complexes et géométrie E22 2. c), 4. a) et b)

Calculatrice

Calculs avec les nombres complexes C4 2. a), c), 4. a) et b)

Nos coups de pouce

4. b) Complétez la figure de la question 2. d) en plaçant les points A′, B′, C′, R, S et T. Conjecturez à partir de cette figure la nature du triangle RST. Validez ou corrigez cette conjecture en calculant les distances RS, RT et ST.

Corrigé

Corrigé

1. Résoudre une équation du second degré

L’équation 645038-Eqn107 d’inconnue 645038-Eqn108 est de la forme 645038-Eqn109 avec 645038-Eqn110645038-Eqn111 et 645038-Eqn112 Pour résoudre cette équation du second degré, calculons son discriminant :

645038-Eqn113

Comme 645038-Eqn114 cette équation admet deux solutions complexes conjuguées qui sont :

645038-Eqn115 et645038-Eqn116

L’équation 645038-Eqn117 admet donc deux solutions complexes qui sont 645038-Eqn118 et 645038-Eqn119

2. a) Calculer un module et un argument d’un nombre complexe

Gagnez des points !

Vérifiez vos résultats à l’aide de la calculatrice  C4 .

Le module du nombre complexe 645038-Eqn120 est :

645038-Eqn121

Le nombre complexe 645038-Eqn122 étant non nul, un argument 645038-Eqn123 de ce nombre complexe exprimé en radians est tel que : 645038-Eqn124 D’après le tableau des valeurs usuelles, nous en déduisons que 645038-Eqn125 est un argument de 645038-Eqn126

Le module du nombre complexe 645038-Eqn127 est 645038-Eqn128 et un argument du nombre complexe 645038-Eqn129 est 645038-Eqn130

b) Écrire un nombre complexe sous forme exponentielle

D’après la question précédente, 645038-Eqn131 étant le module du nombre complexe 645038-Eqn132 et 645038-Eqn133 un argument de a, il en découle que : 645038-Eqn134

En remarquant que le nombre complexe 645038-Eqn135 est le conjugué du nombre complexe 645038-Eqn136 nous avons 645038-Eqn137 et 645038-Eqn138 Par suite, 645038-Eqn139

L’écriture du nombre 645038-Eqn140 sous forme exponentielle est 645038-Eqn141 et celle du nombre 645038-Eqn142 est 645038-Eqn143

c) Démontrer que des points sont cocycliques

La distance d’un point du plan à l’origine du repère orthonormé est le module de l’affixe de ce point.

Le module du nombre 645038-Eqn144 étant 8, la distance OA est de 8 unités. De même, le module du nombre 645038-Eqn145 étant 8, la distance OB est également de 8 unités. La distance OC étant égale au module du nombre 645038-Eqn146 (imaginaire pur), nous avons : OC 645038-Eqn147

Comme OA = OB = OC = 8 (unités), les points A, B et C sont sur le cercle de centre O et de rayon 8.

d) Placer des points d’un repère

Pour placer de manière précise les points A et B, nous traçons d’abord le cercle de centre O et de rayon 8 (unités), puis la droite d’équation 645038-Eqn148 Le point d’intersection d’ordonnée positive de cette droite et de ce cercle est le point A, l’autre point d’intersection, le point B.

matT_1506_07_00C_09

3. a) Calculer un produit de deux nombres complexes

Notez bien

645038-Eqn149

D’après la question 2. b), l’écriture du nombre 645038-Eqn150 sous forme exponentielle est 645038-Eqn151 Par suite, nous avons :

645038-Eqn152

Le nombre 645038-Eqn153 est un réel et 645038-Eqn154

Remarque. Le point 645038-Eqn155 appartient à l’axe des abscisses et au cercle de centre O de rayon 8.

b) Calculer le module et un argument d’un nombre complexe

Notez bien

Pour tous réels 645038-Eqn156 et 645038-Eqn157

645038-Eqn158.

L’écriture du nombre 645038-Eqn159 sous forme exponentielle est 645038-Eqn160 Il en découle que :

645038-Eqn161

L’écriture de 645038-Eqn162sous forme exponentielle étant 645038-Eqn163le module de 645038-Eqn164 est 8 et un argument de 645038-Eqn165 est 645038-Eqn166

Remarque. Le point A′ appartient au cercle de centre O et de rayon 8.

4. a) Calculer l’affixe associée au milieu d’un segment

Nous avons :

645038-Eqn167

L’affixe du milieu du segment 645038-Eqn168 est 0.

Remarque. L’origine du repère, le point O, est le milieu du segment 645038-Eqn169.

De même, nous avons :

645038-Eqn170

L’affixe du milieu du segment 645038-Eqn171 est 645038-Eqn172

Remarque. Le point de coordonnées 645038-Eqn173 est le milieu du segment 645038-Eqn174.

b) Émettre une conjecture et la valider

La figure de la question 2. d) complétée au fur et à mesure de l’avancement des questions est :

matT_1506_07_00C_10

Par lecture graphique, nous conjecturons que le triangle RST (ou OST) est équilatéral.

Validons notre conjecture. Pour ce faire, calculons les distances RS, RT et ST.

645038-Eqn175

Notez bien

Pour tous réels 645038-Eqn176 et 645038-Eqn177

645038-Eqn178

645038-Eqn179.

645038-Eqn180

645038-Eqn181

Comme 645038-Eqn182 le triangle RST est équilatéral.