Annale corrigée Exercice

Voyage dans la ceinture d'astéroïdes

Le mouvement

Voyage dans la ceinture d'astéroïdes

1 heure

6 points

Intérêt du sujet • Dans ce sujet, on étudiera le principe simplifié de la propulsion ionique, puis on déterminera la masse de l'astéroïde Cérès en exploitant la 3e loi de Kepler.

 

Document

Le moteur le plus courant de l'univers du film Star Wars est un propulseur ionique. Il est amusant de constater que cette technologie a déjà été réellement utilisée.

La sonde Dawn avait pour mission d'étudier Vesta et Cérès, les deux principaux corps de la ceinture d'astéroïdes. C'est grâce à ses propulseurs ioniques qu'elle a pu passer d'un astéroïde à l'autre.

Le principe du moteur ionique consiste à ioniser un gaz inerte comme le xénon (c'est-à-dire à produire des ions), à l'aide d'un fort courant électrique. Ensuite, un champ électrique intense accélère ces ions qui, éjectés par une tuyère, propulsent le vaisseau dans la direction opposée à leur flux. Ce mode de propulsion est très économe : à puissances égales, un moteur ionique consomme dix fois moins de combustible qu'un moteur de fusée classique. Cependant, les moteurs ioniques actuels ne produisent que des accélérations assez faibles et sont tout à fait incapables d'exécuter les acrobaties des chasseurs interstellaires de Star Wars.

D'après Roland Lehoucq, Faire des sciences avec Star Wars,
Le Bélial Éditions, 2015.

Données

Constante d'Avogadro : NA = 6,02 × 1023 mol–1.

Charge électrique élémentaire : e = 1,60 × 10–19 C.

Constante de gravitation universelle : G = 6,67 × 10–11 N · m2 · kg–2.

Masse molaire atomique du xénon : M = 131,3 g · mol–1.

Masse de Cérès : Mc = (9,46 ± 0,04) × 1020 kg.

Partie 1. La propulsion ionique

pchT_2000_00_31C_01

Figure 1. Schéma de principe simplifié d'un moteur ionique

Les ions xénon créés sont accélérés par un champ électrique E supposé uniforme. Ces ions, de formule Xe+ et de masse m, pénètrent dans la chambre d'accélération avec une vitesse que l'on considérera nulle. Le champ électrique est obtenu grâce à une tension électrique constante U = 300 V appliquée entre les grilles A et B séparées de la distance d = 6,0 cm. La relation entre le champ électrique E, la tension U, et la distance d entre les grilles A et B est : E=Ud.

1. Montrer que la masse d'un atome de xénon vaut = 2,18 × 10–25 kg.

Pour la suite, on considérera que la masse d'un atome de xénon est égale à la masse de l'ion xénon.

2. Vitesse d'éjection des ions

a) Déterminer l'expression du travail WAB(Fe) de la force électrique Fe appliquée à un ion xénon se déplaçant de la grille A à la grille B, en fonction de e et U.

b) En utilisant le théorème de l'énergie cinétique, montrer que la vitesse d'un ion xénon à la sortie de la chambre d'accélération est donnée par la relation : vB=2eUm.

c) Déterminer la valeur de la vitesse d'éjection des ions xénon.

3. Principe de la propulsion par réaction de la sonde spatiale

Le moteur ionique éjecte en continu une grande quantité d'ions xénon : 3,3 mg de xénon par seconde.

a) Déterminer la valeur de la force électrique exercée sur un ion xénon.

b) En utilisant la troisième loi de Newton, expliquer qualitativement l'origine de la force de propulsion qui s'exerce sur la sonde spatiale.

c) Les ions traversent la chambre d'accélération en 6 μs. Calculer le nombre N d'ions présents simultanément dans l'accélérateur.

d) En déduire la force résultante qu'ils exercent sur la sonde et qui permet sa propulsion

e) La sonde Dawn a une réserve de 425 kg de xénon. Indiquer pendant combien d'années le moteur ionique peut fonctionner.

Partie 2. L'astéroïde Cérès

En 2015, la sonde Dawn s'est mise en orbite quasi-circulaire, de rayon r, autour de l'astéroïde Cérès, de rayon moyen = 480 km. Ses moteurs ioniques désactivés, la sonde Dawn a effectué une révolution autour de Cérès à une altitude moyenne de 13 500 km en 15 jours à la vitesse v.

1. Donner les caractéristiques de la force exercée par Cérès sur la sonde Dawn. Faire un schéma représentant cette force. On notera MD la masse de la sonde Dawn.

2. Montrer que, dans le cas d'un mouvement circulaire, le mouvement de la sonde Dawn autour de Cérès est uniforme.

3. Établir que la vitesse v de la sonde Dawn sur son orbite de rayon r autour de Cérès est donnée par la relation : v=GMCr.

4. Vérifier que l'expression obtenue pour la vitesse est en accord avec la troisième loi de Kepler.

5. Déterminer une valeur de la masse de l'astéroïde Cérès dans le cadre de l'hypothèse d'un mouvement circulaire.

Comparer le résultat à la masse de Cérès donnée dans l'énoncé et proposer une hypothèse pour expliquer la différence.

 

Les clés du sujet

Le lien avec le programme

pchT_2000_00_31C_02

Les conseils du correcteur

Tableau de 2 lignes, 2 colonnes ;Corps du tableau de 2 lignes ;Ligne 1 : Partie 1. La propulsion ionique; ▶ 2. a) Rappelez la définition de la force électrique et du travail d'une force. Comparez les directions et les sens de la force et du déplacement. Utilisez l'expression du champ E.b) Exprimez la variation de l'énergie cinétique en fonction du travail de la force électrique.▶ 3. b) Qu'est-ce qui exerce la force électrique sur les ions ? Quelle est la conséquence d'après la 3e loi de Newton ?c) Utilisez le débit indiqué dans l'énoncé et faites un calcul de proportionnalité. 1 μs = 10–6 s.d) La résultante est la somme de toutes les forces exercées par les ions accélérés et présents dans le moteur.; Ligne 2 : Partie 2. L'astéroïde Cérès; ▶ 1. Une force est caractérisée par une direction, un sens et une intensité.Représentez le repère de Frenet sur le schéma.▶ 2. Comparez les expressions vectorielles de la force qui s'exerce sur la sonde : expression de la force de gravitation et expression générale dans le repère de Frenet.▶ 3. Comparez les expressions littérales de l'accélération normale.▶ 4. La période de révolution autour de Cérès est la durée mise par la sonde pour parcourir un tour complet.▶ 5. Exploitez la 3e loi de Kepler (attention aux unités).;

Partie 1. La propulsion ionique

1. Utiliser la définition de la masse molaire atomique

On connaît la masse molaire du xénon. On peut donc en déduire la masse d'un atome de xénon en utilisant le nombre d'Avogadro :

m(Xe)=M(Xe)NA = 131,36,02×1023=2,18×1022g=2,18×1025kg.

2. a) Écrire l'expression du travail d'une force

Par définitions de la force électrique Fe=qE et du travail d'une force constante F sur un trajet ABWAB(F)=F·AB, on peut écrire :

WAB(Fe)=Fe·AB=qE·AB.

Donc on a : WAB(Fe)=qE×AB×cos0=q×E×AB.

Sachant qu'ici, q = e, AB = d et E=Ud, on a : WAB(Fe)=eUdd = eU.

b) Exploiter le théorème de l'énergie cinétique

D'après le théorème de l'énergie cinétique : EC(B)EC(A)=WAB(Fe).

ici, vA = 0 donc Ec(A) = 0. Ainsi, 12mvB   20=eU et donc vB=2eUm.

c) Effectuer un calcul

à noter

La vitesse calculée peut sembler élevée, mais il s'agit de particules petites qui se déplacent dans une atmosphère raréfiée.

vB =2×1,60×1019×3002,18×1025

= 2,10 × 104 m · s–1 = 21,0 km · s–1.

3. a) Connaître l'expression de la force électrique

La force électrique qui s'exerce un ion de xénon est donnée par la relation : Fe=qE, soit F = qE = eUd

U = 300 V et d = 6,0 cm = 0,060 m.

On obtient donc : F = 1,60×10193000,060 = 8,0 × 10–16 N.

b) Appliquer la 3e loi de Newton

D'après la 3e loi de Newton (principe des actions réciproques) : « Lorsque deux systèmes A et B sont en interaction, ils exercent toujours l'un sur l'autre des forces opposées ».

Si la sonde exerce une force sur un ion xénon, alors cet ion exerce une force de sens opposé sur la sonde : Fion / sonde = – Fsonde / ion.

Ainsi, l'ensemble des ions accélérés dans le moteur et qui subissent une force électrique vers l'arrière, exerce simultanément une force vers l'avant : la résultante de ces forces est la force de propulsion qui s'exerce sur la sonde.

c) Effectuer un calcul

Le moteur ionique éjecte 3,3 mg = 3,3 × 10–6 kg de xénon par seconde.

La masse d'un ion étant m(Xe)=2,18×1025kg, le nombre d'ions éjectés par seconde est : 3,3×1062,18×1025 = 1,5 × 1019.

Puisque les ions traversent la chambre d'accélération en 6 µs, le nombre d'ions présents dans la chambre d'accélération correspond à la quantité éjectée pendant 6 µs = 6 × 10–6 s. Le nombre d'ions présents dans cette chambre est donc : N = 1,5 × 1019 × 6 × 10–6 = 9,1 × 1013 ions.

d) Calculer l'intensité d'une force résultante

à noter

Comme il est écrit dans le texte introductif, cette force est faible et l'accélération produite aussi. Elle doit être maintenue longtemps pour accélérer convenablement la sonde.

Chaque ion est accéléré par la force électrique Fe = 8,0 × 10–16 N due au champ électrique généré par le moteur de la sonde. D'après le principe des actions réciproques, chaque ion exerce une force opposée sur la sonde. L'ensemble des ions présents dans le moteur exerce donc une force résultante :

Ftotale = × Fe = 9,1 × 1013 × 8,0 × 10–16 = 7,3 × 10–2 N = 73 mN.

e) Effectuer un calcul

La sonde Dawn a une réserve de 425 kg de xénon et éjecte chaque seconde 3,3 mg = 3,3 × 10–6 kg de xénon.

Son moteur ionique peut donc fonctionner pendant une durée :

Δt=4253,3×106=1,29×108 s soit Δt=1,29×108365,25×24×3600 = 4,1 ans.

Partie 2. L'astéroïde Cérès

pchT_2000_00_31C_03

1. Connaître les caractéristiques de la force de gravitation

La force exercée par Cérès sur la sonde Dawn est la force d'interaction gravitationnelle F.

Ses caractéristiques sont :

point d'application : le centre de masse de la sonde Dawn ;

direction : la droite reliant les centres de Cérès et de Dawn ;

sens : de Dawn vers Cérès ;

valeur : F=GMCMDr2.

Donc F=GMCMDr2u

u est un vecteur unitaire dirigé de Cérès vers Dawn.

2. Exploiter les coordonnées de l'accélération dans le repère de Frenet

D'après la loi de gravitation universelle et la 2e loi de Newton, la sonde est soumise à une force d'attraction : F= GMCMDr2 u= MDa.

Donc son accélération est : a= GMCr2 u .

Cette accélération est dirigée suivant le vecteur u, elle est donc centripète. 

Par ailleurs, l'expression générale de l'accélération dans le repère de Frenet lié à la sonde est : a=dvdt t+v2r n.

Puisque la trajectoire est circulaire, u et n sont opposés. En comparant les deux expressions de l'accélération de la sonde, on peut donc écrire :

à noter

Dans l'hypothèse d'une trajectoire circulaire, la force de gravitation est perpendiculaire à la vitesse et l'accélération est alors centripète. Le mouvement est uniforme.

a=GMCr2u = GMCr2n=dvdtt+v2r n.

On en déduit que, selon t, dvdt=0 : la valeur de la vitesse de la sonde est constante ce qui signifie que le mouvement est uniforme.

3. Déterminer une expression littérale

Selon n : GMCr2n = v2rn donc : v2r=GMCr2 et v=GMCr.

4. Retrouver la 3e loi de Kepler

Le périmètre du cercle trajectoire, 2πr, est parcouru pendant une période de révolution T à la vitesse constante : v=GMCr.

On a donc : GMCr = 2πrT d'où : T=2πrv=2πr3GMC.

On peut donc écrire que T2r3=4π2GMC, or ce rapport est constant,

donc T² est proportionnel à r3.

Cette expression de la période de révolution est donc bien en accord avec la 3e loi de Kepler : « Le carré de la période de révolution (T²) est proportionnel au cube du rayon de la trajectoire (r³). »

5. Exploiter la 3e loi de Kepler

La masse de l'astéroïde Cérès MC peut être calculée grâce à la 3e loi de Kepler. En effet, T2r3=4π2GMC donc MC=4π2r3GT2

r = R + h = 480 + 13 500 = 13 980 km

et T = 15 jours = 15 × 24 × 3 600 secondes.

On obtient : MC=4π2×(13 980×103)36,67×1011×(15×24×3600)2 = 9,63 × 1020 kg.

Ce résultat est cohérent car proche de la valeur (9,46±0,04)×1020 kg donnée dans l'énoncé, mais il n'est pas inclus dans l'intervalle de confiance.

Plusieurs hypothèses peuvent être retenues pour expliquer la différence :

le mouvement de la sonde n'est peut-être pas circulaire ;

l'astéroïde n'est pas sphérique ;

la période et l'altitude ne sont pas exprimées avec précision ;

Accéder à tous les contenus
dès 6,79€/mois

  • Les dernières annales corrigées et expliquées
  • Des fiches de cours et cours vidéo/audio
  • Des conseils et méthodes pour réussir ses examens
  • Pas de publicités
S'abonner