Partie 1. La propulsion ionique

▶ 1. Utiliser la définition de la masse molaire atomique

On connaît la masse molaire du xénon. On peut donc en déduire la masse d'un atome de xénon en utilisant le nombre d'Avogadro :

$m(\text{Xe})=\frac{M(\text{Xe})}{N_{\text{A}}}$ = $\frac{\mathrm{131,3}}{\mathrm{6,02}\times {10}^{23}}=\mathrm{2,18}\times {10}^{-22}g=\mathrm{2,18}\times {10}^{-25}\text{kg}$.

▶ 2. a) Écrire l'expression du travail d'une force

Par définitions de la force électrique $\overrightarrow{F_{\text{e}}}=q\overrightarrow{E}$ et du travail d'une force constante $\overrightarrow{F}$ sur un trajet $\overrightarrow{\text{AB}}$$W_{\text{AB}}(\overrightarrow{F})=\overrightarrow{F}·\overrightarrow{\text{AB}}$, on peut écrire :

$W_{\text{AB}}(\overrightarrow{F_{\text{e}}})=\overrightarrow{F_{\text{e}}}·\overrightarrow{\text{AB}}=q\overrightarrow{E}·\overrightarrow{\text{AB}}$.

Donc on a : $W_{\text{AB}}(\overrightarrow{F_{\text{e}}})=qE\times \text{AB}\times \cos 0=q\times E\times \text{AB}$.

Sachant qu'ici, q = e, AB = d et $E=\frac{U}{d}$, on a : $W_{\text{AB}}(\overrightarrow{F_{\text{e}}})=\text{e}\frac{U}{d}d$ = eU.

b) Exploiter le théorème de l'énergie cinétique

D'après le théorème de l'énergie cinétique : $E_C(B)-E_C(A)=W_{\text{AB}}(\overrightarrow{F_{\text{e}}})$.

ici, v_A = 0 donc E_c(A) = 0. Ainsi, $\frac{1}{2}m{v}_B^2-0=\text{e}U$ et donc $v_B=\sqrt{\frac{2\text{e}U}{m}}$.

c) Effectuer un calcul

$v_{\text{B}}$ $=\sqrt{\frac{2\times \mathrm{1,60}\times {10}^{-19}\times 300}{\mathrm{2,18}\times {10}^{-25}}}$

= 2,10 × 10⁴ m · s^–1 = 21,0 km · s^–1.

▶ 3. a) Connaître l'expression de la force électrique

La force électrique qui s'exerce un ion de xénon est donnée par la relation : $\overrightarrow{F_{\text{e}}}=q\overrightarrow{E}$, soit F = qE = $\text{e}\frac{U}{d}$

où U = 300 V et d = 6,0 cm = 0,060 m.

On obtient donc : F = $\mathrm{1,60}\times {10}^{-19}\frac{300}{\mathrm{0,060}}$ = 8,0 × 10^–16 N.

b) Appliquer la 3^e loi de Newton

D'après la 3^e loi de Newton (principe des actions réciproques) : « Lorsque deux systèmes A et B sont en interaction, ils exercent toujours l'un sur l'autre des forces opposées ».

Si la sonde exerce une force sur un ion xénon, alors cet ion exerce une force de sens opposé sur la sonde : $\overrightarrow{F}$_{ion / sonde} = – $\overrightarrow{F}$_{sonde / ion}.

Ainsi, l'ensemble des ions accélérés dans le moteur et qui subissent une force électrique vers l'arrière, exerce simultanément une force vers l'avant : la résultante de ces forces est la force de propulsion qui s'exerce sur la sonde.

c) Effectuer un calcul

Le moteur ionique éjecte 3,3 mg = 3,3 × 10^–6 kg de xénon par seconde.

La masse d'un ion étant $m(\text{Xe})=\mathrm{2,18}\times {10}^{-25}\text{kg}$, le nombre d'ions éjectés par seconde est : $\frac{\mathrm{3,3}\times {10}^{-6}}{\mathrm{2,18}\times {10}^{-25}}$ = 1,5 × 10¹⁹.

Puisque les ions traversent la chambre d'accélération en 6 µs, le nombre d'ions présents dans la chambre d'accélération correspond à la quantité éjectée pendant 6 µs = 6 × 10^–6 s. Le nombre d'ions présents dans cette chambre est donc : N = 1,5 × 10¹⁹ × 6 × 10^–6 = 9,1 × 10¹³ ions.

d) Calculer l'intensité d'une force résultante

Chaque ion est accéléré par la force électrique F_e = 8,0 × 10^–16 N due au champ électrique généré par le moteur de la sonde. D'après le principe des actions réciproques, chaque ion exerce une force opposée sur la sonde. L'ensemble des ions présents dans le moteur exerce donc une force résultante :

F_totale = N × F_e = 9,1 × 10¹³ × 8,0 × 10^–16 = 7,3 × 10^–2 N = 73 mN.

e) Effectuer un calcul

La sonde Dawn a une réserve de 425 kg de xénon et éjecte chaque seconde 3,3 mg = 3,3 × 10^–6 kg de xénon.

Son moteur ionique peut donc fonctionner pendant une durée :

$\text{Δ}t=\frac{425}{\mathrm{3,3}\times {10}^{-6}}=\mathrm{1,29}\times {10}^8\text{ s}$ soit $\text{Δ}t=\frac{\mathrm{1,29}\times {10}^8}{\mathrm{365,25}\times 24\times 3600}$ = 4,1 ans.

Partie 2. L'astéroïde Cérès

▶ 1. Connaître les caractéristiques de la force de gravitation

La force exercée par Cérès sur la sonde Dawn est la force d'interaction gravitationnelle $\overrightarrow{F}$.

Ses caractéristiques sont :

point d'application : le centre de masse de la sonde Dawn ;

direction : la droite reliant les centres de Cérès et de Dawn ;

sens : de Dawn vers Cérès ;

valeur : $F=G\frac{M_{\text{C}}\cdot M_{\text{D}}}{r^2}$.

Donc $\overrightarrow{F}=-G\frac{M_{\text{C}}\cdot M_{\text{D}}}{r^2}\overrightarrow{u}$

où $\overrightarrow{u}$ est un vecteur unitaire dirigé de Cérès vers Dawn.

▶ 2. Exploiter les coordonnées de l'accélération dans le repère de Frenet

D'après la loi de gravitation universelle et la 2^e loi de Newton, la sonde est soumise à une force d'attraction : $\overrightarrow{F}=- G\frac{M_{\text{C}}\cdot M_{\text{D}}}{r^2} \overrightarrow{u}= M_{\text{D}}\overrightarrow{a}$.

Donc son accélération est : $\overrightarrow{a}=- G\frac{M_{\text{C}}}{r^2} \overrightarrow{u}$ .

Cette accélération est dirigée suivant le vecteur $\overrightarrow{u}$, elle est donc centripète. 

Par ailleurs, l'expression générale de l'accélération dans le repère de Frenet lié à la sonde est : $\overrightarrow{a}=\frac{dv}{dt}\overrightarrow{t}+\frac{v^2}{r}\overrightarrow{n}$.

Puisque la trajectoire est circulaire, $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{n}$ sont opposés. En comparant les deux expressions de l'accélération de la sonde, on peut donc écrire :

$\overrightarrow{a}=-G\frac{M_C}{r^2}\overrightarrow{u}$ = $G\frac{M_C}{r^2}\overrightarrow{n}=\frac{dv}{dt}\overrightarrow{t}+\frac{v^2}{r}\overrightarrow{n}$.

On en déduit que, selon $\overrightarrow{t}$, $\frac{dv}{dt}=0$ : la valeur de la vitesse de la sonde est constante ce qui signifie que le mouvement est uniforme.

▶ 3. Déterminer une expression littérale

Selon $\overrightarrow{n}$ : $G\frac{M_{\text{C}}}{r^2}\overrightarrow{n}$ = $\frac{v^2}{r}\overrightarrow{n}$ donc : $\frac{v^2}{r}=G\frac{M_{\text{C}}}{r^2}$ et $v=\sqrt{\frac{G{M}_{\text{C}}}{r}}$.

▶ 4. Retrouver la 3^e loi de Kepler

Le périmètre du cercle trajectoire, 2πr, est parcouru pendant une période de révolution T à la vitesse constante : $v=\sqrt{\frac{G{M}_{\text{C}}}{r}}$.

On a donc : $\sqrt{\frac{G{M}_{\text{C}}}{r}}$ = $\frac{2\text{π}r}{T}$ d'où : $T=\frac{2\text{π}r}{v}=2\text{π}\sqrt{\frac{r^3}{G{M}_{\text{C}}}}$.

On peut donc écrire que $\frac{T^2}{r^3}=\frac{4{\text{π}}^2}{G{M}_{\text{C}}}$, or ce rapport est constant,

donc T² est proportionnel à r³.

Cette expression de la période de révolution est donc bien en accord avec la 3^e loi de Kepler : « Le carré de la période de révolution (T²) est proportionnel au cube du rayon de la trajectoire (r³). »

▶ 5. Exploiter la 3^e loi de Kepler

La masse de l'astéroïde Cérès M_C peut être calculée grâce à la 3^e loi de Kepler. En effet, $\frac{T^2}{r^3}=\frac{4{\text{π}}^2}{G{M}_{\text{C}}}$ donc $M_{\text{C}}=\frac{4{\text{π}}^2{r}^3}{G{T}^2}$

où r = R + h = 480 + 13 500 = 13 980 km

et T = 15 jours = 15 × 24 × 3 600 secondes.

On obtient : $M_{\text{C}}=\frac{4{\text{π}}^2\times {(13980\times {10}^3)}^3}{\mathrm{6,67}\times {10}^{-11}\times {(15\times 24\times 3600)}^2}$ = 9,63 × 10²⁰ kg.

Ce résultat est cohérent car proche de la valeur $(\mathrm{9,46}\pm \mathrm{0,04})\times {10}^{20}\text{ kg}$ donnée dans l'énoncé, mais il n'est pas inclus dans l'intervalle de confiance.

Plusieurs hypothèses peuvent être retenues pour expliquer la différence :

le mouvement de la sonde n'est peut-être pas circulaire ;

l'astéroïde n'est pas sphérique ;

la période et l'altitude ne sont pas exprimées avec précision ;

…