Voyage interplanétaire

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Temps, mouvement et évolution
Type : Exercice | Année : 2014 | Académie : France métropolitaine
 
Unit 1 - | Corpus Sujets - 1 Sujet
 
Voyage interplanétaire
 
 

France métropolitaine • Juin 2014

pchT_1406_07_02C

Sujet complet

3

CORRIGE

 

France métropolitaine • Juin 2014

Exercice 3 spécifique • 5 points

Vue d’artiste du robot Curiosity

 

La mission Mars Science Laboratory

Le lancement du robot Curiosity de la mission Mars Science Laboratory (MSL) a eu lieu le samedi 26 novembre 2011. Il s’est posé sur le sol martien le 6 août 2012. Ce robot transporte du matériel scientifique destiné à l’analyse de la composition du sol et de l’atmosphère martienne.

Le but de cet exercice est d’évaluer les conditions à respecter sur les positions relatives de la Terre et de Mars lors du lancement du robot Curiosity.

Données

  • Distance Soleil-Terre : R1= 1,50 × 108 km.
  • Distance Soleil-Mars : R2= 2,28 × 108 km.
  • Période de révolution de Mars autour du Soleil : 1,88 an.
  • Constante de gravitation universelle : G= 6,67 × 10–11 m3⋅kg–1⋅s–2.
  • Masse du Soleil : MS= 1,99 × 1030 kg.
Document 1

Orbite de Hohmann

Orbite de Hohmann

 

Dès les années 1920, Walter Hohmann étudie la manière la plus économique en énergie pour se rendre d’une planète à une autre.

Pour un voyage interplanétaire entre la Terre et Mars, la trajectoire du vaisseau est une ellipse de centre O. On appelle cette ellipse de demi grand axe a l’orbite de Hohmann. Le périhélie P (point le plus proche du Soleil) est sur l'orbite de la Terre et l'aphélie A (point le plus éloigné du Soleil) sur celle de Mars. Pour simplifier, les orbites de Mars et de la Terre autour du Soleil sont considérées comme circulaires et contenues dans le même plan.

Pour que ce voyage interplanétaire soit réussi, il faut d’abord que le vaisseau échappe à l’attraction de la Terre, puis qu’il utilise l’attraction du Soleil pour rejoindre le voisinage de Mars en empruntant une orbite de transfert, dite orbite de Hohmann. Dans l’étape finale c’est l’interaction gravitationnelle avec Mars qui doit être prépondérante pour que Curiosity puisse se poser sur son sol.

Document 2

Conditions de rencontre entre Curiosity et Mars

La figure ci-dessous donne les positions de la Terre et de Mars au moment du départ et de l’arrivée de Curiosity.

Mars accomplit une orbite complète de 360 ° en 1,88 an.

On suppose que les deux planètes décrivent un mouvement circulaire et uniforme pendant le temps du voyage. On lance le vaisseau de la Terre lorsque Mars se trouve au point M1 sur son orbite, position initiale repérée par l’angle α représenté ci-dessous. Le point M2 représente le lieu de rendez-vous entre le vaisseau et Mars.

On note β l’angle .


 

1 Indiquer les différentes phases du voyage de la mission MSL. (0,75 point)

2 Sur le schéma en annexe ci-dessous repasser en couleur le chemin suivi par MSL et indiquer les distances R1 et R2 introduites dans les données. Montrer que la valeur du demi-grand axe de l’orbite de Hohmann est a= 1,89 × 108 km. (1,25 point)

3 La troisième loi de Kepler permet d’écrire :

a est le demi-grand axe de l’ellipse, T la période pour parcourir la totalité de l’ellipse, G la constante de gravitation universelle et MS la masse du Soleil.

1. Exprimer la durée Δt du voyage de Curiosity en fonction de a, G et MS, et vérifier l’homogénéité de cette relation par une analyse dimensionnelle. (1,25 point)

2. Calculer la durée Δt . Commenter le résultat obtenu par rapport à la durée de la mission. (1 point)

4 Déterminer la valeur de l’angle α qui repère la position de Mars au départ, condition nécessaire à la réussite de la mission. (0,75 point)

Le candidat est invité à noter ses pistes de recherche. La démarche suivie est évaluée et nécessite d’être correctement présentée.

Annexe

Schéma à compléter :


 

Notions et compétences en jeu

Extraire des informations • Exploiter des documents • Utiliser la 3e loi de Kepler • Émettre une hypothèse.

Conseils du correcteur

Cet exercice comprend peu de questions mais il y a souvent plusieurs questions dans une. Faites attention à ne pas en oublier !

2 La distance AP correspond au grand axe de l’ellipse.

31. Utilisez la définition d’une période de révolution : durée nécessaire pour parcourir toute l’orbite.

32. Pensez à convertir la durée calculée en années ou en mois. Et n’oubliez pas de comparer avec les données du texte introductif.

4 Le mouvement de Mars est un mouvement uniforme : l’angle parcouru est donc proportionnel à la durée du parcours. En outre, le raisonnement peut se faire aussi bien en degrés qu’en radians.

Corrigé

1 Exploiter des documents

La mission MSL va connaître 3 phases :

  • quitter l’attraction terrestre ;
  • se déplacer sur l’orbite dite d’Hohman en utilisant l’attraction du Soleil ;
  • entrer dans le champ d’attraction de Mars.

2 Utiliser un schéma

D’après le schéma ci-après, on a le grand axe de l’ellipse tel que :

2a =R1+ R2.

Ce qui revient à écrire :

a = soit a ==1,89×108km.


 

31. Utiliser la troisième loi de Kepler

La 3e loi de Kepler nous dit que soit T =.

T est la période de révolution sur l’orbite elliptique. La mission MSL parcourt la moitié de l’orbite. Sa durée de parcours est donc :

.

 

Notez bien

La notation entre crochets signifie l’unité de la grandeur.

Nous pouvons vérifier l’homogénéité de cette relation par analyse dimensionnelle :

La seconde est bien l’unité internationale de temps. La relation est homogène.

2. Faire une application numérique

Δt = 2,24 × 107 s =259 jours soit environ 8 mois et demi.

Le texte introductif nous dit que le lancement du robot a eu lieu le 26 novembre 2011 et qu’il s’est posé sur Mars le 6 août 2012. Cela correspond à une durée de mission d’environ 8 mois et demi. La durée mesurée est cohérente par rapport au calcul effectué.

4 Émettre une hypothèse

On a calculé la durée du parcours de la mission : Δt.

On connaît la période de révolution de Mars : TMars.

Grâce à un produit en croix, on peut calculer l’angle β (document 2).

 

À retenir

360° correspond à 2π radians.

Si Mars décrit un angle égal à 2π en TMars, alors elle décrit un angle β = 2π × pendant la durée Δt.

Pour réussir à parcourir la demi-ellipse de l’orbite d’Hohmann, il faut que la Terre en position de départ soit alignée avec le Soleil et Mars en position d’arrivée. On a donc, en utilisant toujours les notations du schéma du document 2 :

α = π – β soit α = π – 2π × 

α = π – 2π × = 0,77 rad =44°.