QCM et vrai/faux
matT_1606_07_10C
Ens. spécifique
36
France métropolitaine • Juin 2016
Exercice 2 • 4 points
Voyageons dans l'espace
Dans l'espace rapporté à un repère orthonormé , on donne les points :
A(1 2 3), B(3 0 1), C(– 1 0 1), D(2 1 – 1), E(– 1 – 2 3) et F(– 2 – 3 4).
Pour chaque affirmation, dire si elle est vraie ou fausse en justifiant votre réponse. Une réponse non justifiée ne sera pas prise en compte.
▶ 1. Affirmation 1. Les trois points A, B et C sont alignés.
▶ 2. Affirmation 2. Le vecteur est un vecteur normal au plan (ABC).
▶ 3. Affirmation 3. La droite (EF) et le plan (ABC) sont sécants et leur point d'intersection est le milieu du segment [BC].
▶ 4. Affirmation 4. Les droites (AB) et (CD) sont sécantes.
Les clés du sujet
Durée conseillée : 40 minutes.
Les thèmes clés
Droites et plans • Géométrie vectorielle • Produit scalaire.
Les outils dont vous avez besoin
Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d'ouvrage.
Vecteurs colinéaires E27 → Affirmations 1 et 3
Orthogonalité E32c → Affirmation 2
Produit scalaire E31b • E32 → Affirmation 2
Vecteur normal à un plan E33a → Affirmation 2
Représentation paramétrique d'une droite E30 → Affirmation 4
Équation cartésienne d'un plan E33c → Affirmations 3 et 4
Nos coups de pouce
▶ Affirmation 3. Déterminez les coordonnées du milieu M de une représentation paramétrique de la droite et une équation cartésienne du plan Concluez en résolvant un système d'équations.
▶ Affirmation 4. Déterminez une représentation paramétrique pour chacune des droites et puis déterminez à l'aide d'un système d'équations si elles sont sécantes ou non.
Corrigé
▶ 1. Étudier l'alignement de 3 points
On a et .
Les coordonnées des vecteurs et n'étant pas proportionnelles, les vecteurs et ne sont pas colinéaires. Donc les points A, B et C ne sont pas alignés.
L'affirmation 1 est fausse.
▶ 2. Déterminer si un vecteur est normal à un plan
D'après ce qui précède, les vecteurs et sont deux vecteurs non colinéaires du plan
donc
donc
Le vecteur est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan Donc est normal au plan L'affirmation 2 est vraie.
▶ 3. Étudier la position relative d'une droite et d'un plan
Le milieu K du segment a pour coordonnées :
.
On a aussi
La droite qui passe par le point et a pour vecteur directeur admet pour représentation paramétrique :
est normal au plan (voir affirmation 2) donc une équation cartésienne du plan est où est un réel à déterminer. Or donc :
Le plan a pour équation cartésienne
Finalement, la droite et le plan sont sécants et leur point d'intersection est le milieu K du segment .
L'affirmation 3 est vraie.
▶ 4. Étudier la position relative de deux droites
On a (voir affirmation 1) et .
La droite qui passe par le point et a pour vecteur directeur admet pour représentation paramétrique :
La droite qui passe par le point et a pour vecteur directeur admet pour représentation paramétrique :
Supposons que les droites et soient sécantes. On résout alors le système d'équations suivant pour trouver les coordonnées du point d'intersection : .
Ce système équivaut à puis à .
Ce résultat est absurde. Par conséquent, les droites et ne sont pas sécantes et l'affirmation 4 est fausse.
Autre méthode
Le plan a pour équation cartésienne (voir affirmation 3) et donc le point n'appartient pas au plan .
Comme les points A, B et C ne sont pas alignés (voir affirmation 1), les droites et ne sont donc pas coplanaires et ne peuvent ainsi être sécantes. Par conséquent, l'affirmation 4 est fausse.