Voyageons dans l’espace

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle S | Thème(s) : QCM et vrai/faux
Type : Exercice | Année : 2016 | Académie : France métropolitaine


France métropolitaine • Juin 2016

Exercice 2 • 4 points

Voyageons dans l’espace

Dans l’espace rapporté à un repère orthonormé (O;i,j,k), on donne les points :

A(1 ; 2 ; 3), B(3 ; 0 ; 1), C(– 1 ; 0 ; 1), D(2 ; 1 ; – 1), E(– 1 ; – 2 ; 3) et F(– 2 ; – 3 ; 4).

Pour chaque affirmation, dire si elle est vraie ou fausse en justifiant votre réponse. Une réponse non justifiée ne sera pas prise en compte.

▶ 1. Affirmation 1. Les trois points A, B et C sont alignés.

▶ 2. Affirmation 2. Le vecteur n(0;1;1) est un vecteur normal au plan (ABC).

▶ 3. Affirmation 3. La droite (EF) et le plan (ABC) sont sécants et leur point d’intersection est le milieu du segment [BC].

▶ 4. Affirmation 4. Les droites (AB) et (CD) sont sécantes.

Les clés du sujet

Durée conseillée : 40 minutes.

Les thèmes clés

Droites et plans • Géométrie vectorielle • Produit scalaire.

Les outils dont vous avez besoin

Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d’ouvrage.

Vecteurs colinéaires  E27  Affirmations 1 et 3

Orthogonalité  E32c  Affirmation 2

Produit scalaire  E31b • E32  Affirmation 2

Vecteur normal à un plan  E33a  Affirmation 2

Représentation paramétrique d’une droite  E30  Affirmation 4

Équation cartésienne d’un plan  E33c  Affirmations 3 et 4

Nos coups de pouce

 Affirmation 3. Déterminez les coordonnées du milieu M de [BC], une représentation paramétrique de la droite (EF) et une équation cartésienne du plan (ABC). Concluez en résolvant un système d’équations.

 Affirmation 4. Déterminez une représentation paramétrique pour chacune des droites (AB) et (CD) puis déterminez à l’aide d’un système d’équations si elles sont sécantes ou non.

Corrigé

Corrigé

 1. Étudier l’alignement de 3 points

On a AB|xBxA=31=2yByA=02=2zBzA=13=2 et AC|xCxA=11=2yCyA=02=2zCzA=13=2.

Les coordonnées des vecteurs AB et AC n’étant pas proportionnelles, les vecteurs AB et AC ne sont pas colinéaires. Donc les points A, B et C ne sont pas alignés.

L’affirmation 1 est fausse.

 2. Déterminer si un vecteur est normal à un plan

D’après ce qui précède, les vecteurs AB et AC sont deux vecteurs non colinéaires du plan (ABC).

nAB=0×2+1×(2)+(1)×(2)=0 donc nAB.

nAC=0×(2)+1×(2)+(1)×(2)=0 donc nAC.

Le vecteur n est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan (ABC). Donc n est normal au plan (ABC).L’affirmation 2 est vraie.

 3. Étudier la position relative d’une droite et d’un plan

Le milieu K du segment [BC] a pour coordonnées (1 ; 0 ; 1) :

xK=xB+xC2=3+(1)2=1

yK=yB+yC2=0+02=0

zK=zB+zC2=1+12=1.

On a aussi EF|xFxE=2(1)=1yFyE=3(2)=1.zFzE=43=1

La droite (EF) qui passe par le point E(1 ; 2 ; 3) et a pour vecteur directeur EF admet pour représentation paramétrique :

(EF) : {x=11×t=1ty=21×t=2tz=3+1×t=3+t ,t.

n est normal au plan (ABC) (voir affirmation 2) donc une équation cartésienne du plan (ABC) est 0x+1y1z+d=0d est un réel à déterminer. Or B(ABC) donc :yBzB+d=001+d=0d=1.

Le plan (ABC) a pour équation cartésienne yz+1=0.

M(x ; y ; z)(EF)(ABC){x=1ty=2tz=3+tyz+1=0{x=1ty=2tz=3+t2t(3+t)+1=0{x=1y=0z=1t=2.

Finalement, la droite (EF) et le plan (ABC) sont sécants et leur point d’intersection est le milieu K du segment [BC].

L’affirmation 3 est vraie.

 4. Étudier la position relative de deux droites

On a AB|222(voir affirmation 1) et CD|xDxC=2(1)=3yDyC=10=1zDzC=(1)1=2.

La droite (AB) qui passe par le point B(3 ; 0 ; 1) et a pour vecteur directeur AB admet pour représentation paramétrique :

(AB) : {x=3+2×t=3+2ty=02×t=2tz=12×t=12t ,t.

La droite (CD) qui passe par le point C(1;0;1) et a pour vecteur directeur CD admet pour représentation paramétrique :

(CD) : {x=1+3×k=1+3ky=0+1×k=kz=12×k=12k, k.

Supposons que les droites (AB) et (CD) soient sécantes. On résout alors le système d’équations suivant pour trouver les coordonnées du point d’intersection : {3+2t=1+3k2t=k12t=12k.

Ce système équivaut à {3+2t=1+3t2t=tt=k puis à {t=4t=0k=0.

Ce résultat est absurde. Par conséquent, les droites (AB) et (CD) ne sont pas sécantes et l’affirmation 4 est fausse.

Autre méthode

Le plan (ABC) a pour équation cartésienne yz+1=0 (voir affirmation 3) et yDzD+1=1(1)+1=30 donc le point D(2 ; 1 ; 1) n’appartient pas au plan (ABC).

Comme les points A, B et C ne sont pas alignés (voir affirmation 1), les droites (AB) et (CD) ne sont donc pas coplanaires et ne peuvent ainsi être sécantes. Par conséquent, l’affirmation 4 est fausse.