Corrigé

▶ 1. Étudier l’alignement de 3 points

On a AB→|xB−xA=3−1=2yB−yA=0−2=−2zB−zA=1−3=−2 et AC→|xC−xA=−1−1=−2yC−yA=0−2=−2zC−zA=1−3=−2.

Les coordonnées des vecteurs AB→ et AC→ n’étant pas proportionnelles, les vecteurs AB→ et AC→ ne sont pas colinéaires. Donc les points A, B et C ne sont pas alignés.

L’affirmation 1 est fausse.

▶ 2. Déterminer si un vecteur est normal à un plan

D’après ce qui précède, les vecteurs AB→ et AC→ sont deux vecteurs non colinéaires du plan (ABC).

n→⋅AB→=0×2+1×(−2)+(−1)×(−2)=0 donc n→⊥AB→.

n→⋅AC→=0×(−2)+1×(−2)+(−1)×(−2)=0 donc n→⊥AC→.

Le vecteur n→ est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan (ABC). Donc n→ est normal au plan (ABC).L’affirmation 2 est vraie.

▶ 3. Étudier la position relative d’une droite et d’un plan

Le milieu K du segment [BC] a pour coordonnées (1;0;1) :

xK=xB+xC2=3+(−1)2=1

yK=yB+yC2=0+02=0

zK=zB+zC2=1+12=1.

On a aussi EF→|xF−xE=−2−(−1)=−1yF−yE=−3−(−2)=−1.zF−zE=4−3=1

La droite (EF) qui passe par le point E(−1;−2;3) et a pour vecteur directeur EF→ admet pour représentation paramétrique :

(EF) : {x=−1−1×t=−1−ty=−2−1×t=−2−tz=3+1×t=3+t,t∈ℝ.

n→ est normal au plan (ABC) (voir affirmation 2) donc une équation cartésienne du plan (ABC) est 0x+1y−1z+d=0 où d est un réel à déterminer. Or B∈(ABC) donc :yB−zB+d=0⇔0−1+d=0⇔d=1.

Le plan (ABC) a pour équation cartésienne y−z+1=0.

M(x;y;z)∈(EF)∩(ABC)⇔{x=−1−ty=−2−tz=3+ty−z+1=0⇔{x=−1−ty=−2−tz=3+t−2−t−(3+t)+1=0⇔{x=1y=0z=1t=−2.

Finalement, la droite (EF) et le plan (ABC) sont sécants et leur point d’intersection est le milieu K du segment [BC].

L’affirmation 3 est vraie.

▶ 4. Étudier la position relative de deux droites

On a AB→|2−2−2(voir affirmation 1) et CD→|xD−xC=2−(−1)=3yD−yC=1−0=1zD−zC=(−1)−1=−2.

La droite (AB) qui passe par le point B(3;0;1) et a pour vecteur directeur AB→ admet pour représentation paramétrique :

(AB) : {x=3+2×t=3+2ty=0−2×t=−2tz=1−2×t=1−2t,t∈ℝ.

La droite (CD) qui passe par le point C(−1;0;1) et a pour vecteur directeur CD→ admet pour représentation paramétrique :

(CD) : {x=−1+3×k=−1+3ky=0+1×k=kz=1−2×k=1−2k,k∈ℝ.

Supposons que les droites (AB) et (CD) soient sécantes. On résout alors le système d’équations suivant pour trouver les coordonnées du point d’intersection : {3+2t=−1+3k−2t=k1−2t=1−2k.

Ce système équivaut à {3+2t=−1+3t−2t=tt=k puis à {t=4t=0k=0.

Ce résultat est absurde. Par conséquent, les droites (AB) et (CD) ne sont pas sécantes et l’affirmation 4 est fausse.

Autre méthode

Le plan (ABC) a pour équation cartésienne y−z+1=0 (voir affirmation 3) et yD−zD+1=1−(−1)+1=3≠0 donc le point D(2;1;−1) n’appartient pas au plan (ABC).

Comme les points A, B et C ne sont pas alignés (voir affirmation 1), les droites (AB) et (CD) ne sont donc pas coplanaires et ne peuvent ainsi être sécantes. Par conséquent, l’affirmation 4 est fausse.