Vrai ou faux ?

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Annales corrigées
Classe(s) : 3e | Thème(s) : Utiliser la géométrie plane pour démontrer
Type : Exercice | Année : 2017 | Académie : Centres étrangers

Centres étrangers • Juin 2017

Exercice 1 • 6 points

Vrai ou faux ?

Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse. Chaque réponse doit être justifiée.

Affirmation 1

mat3_1706_06_05C_01

Un menuisier prend les mesures suivantes dans le coin d’un mur à 1 mètre au-dessus du sol pour construire une étagère ABC :

AB = 65 cm ; AC = 72 cm et BC = 97 cm

Il réfléchit quelques minutes et assure que l’étagère a un angle droit.

Affirmation 2

mat3_1706_06_05C_02

Les normes de construction imposent que la pente d’un toit représentée ici par l’angle CAH^ doit avoir une mesure comprise entre 30° et 35°. Une coupe du toit est représentée ci-contre : AC = 6 m et AH = 5 m. H est le milieu de [AB].

Le charpentier affirme que sa construction respecte la norme.

Affirmation 3

Un peintre souhaite repeindre les volets d’une maison. Il constate qu’il utilise 16 du pot pour mettre une couche de peinture sur l’intérieur et l’extérieur d’un volet. Il doit peindre ses 4 paires de volets et mettre sur chaque volet 3 couches de peinture. Il affirme qu’il lui faut 2 pots de peinture.

Les clés du sujet

Points du programme

Réciproque du théorème de Pythagore • Trigonométrie.

Nos coups de pouce

Affirmation 1

Calcule AB2, AC2, BC2, puis applique la réciproque du théorème de Pythagore.

Affirmation 2

Par exemple, calcule cosCAH^ dans le triangle CAH rectangle en H.

Affirmation 3

Raisonnement possible :

Calcule le nombre de volets à repeindre.

Calcule la quantité de peinture nécessaire pour passer une couche sur tous les volets.

Déduis-en la quantité de peinture nécessaire pour passer 3 couches sur tous les volets.

Corrigé

Corrigé

Affirmation 1

Calculons :

AB2 = 652 = 4 225

AC2 = 722 = 5 184

BC2 = 972 = 9 409

Nous remarquons que 9 409 = 4 225 + 5 184, donc BC2 = AB2 + AC2.

D’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABC est rectangle en A. L’étagère a un angle droit et l’affirmation 1 est vraie.

Affirmation 2

Rappel

cosCAH^=AHAC= côté adjacenthypoténuse

D’après le codage, le triangle CAH est rectangle en H. Nous avons :

cosCAH^=AHAC=56

La calculatrice donne CAH^ = 34° (valeur arrondie au degré).

Pour que la norme soit respectée, il faut avoir 30° < CAH^< 35°.

Nous avons bien 30° < 34° < 35°.

En conséquence l’affirmation 2 est vraie.

Affirmation 3

Le peintre doit repeindre 4 paires de volets, soit 8 volets. La quantité de peinture nécessaire pour une couche est donc égale à 8×16 de pot.

Mais il doit mettre 3 couches de peinture. Il lui faut 8×16×3 pots, soit 4 pots. Donc l’affirmation 3 est fausse.