géométrie
Utiliser la géométrie plane pour démontrer
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Centres étrangers • Juin 2017
Exercice 1 • 6 points
Vrai ou faux ?
Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse. Chaque réponse doit être justifiée.
Affirmation 1
Un menuisier prend les mesures suivantes dans le coin d'un mur à 1 mètre au-dessus du sol pour construire une étagère ABC :
AB = 65 cm ; AC = 72 cm et BC = 97 cm
Il réfléchit quelques minutes et assure que l'étagère a un angle droit.
Affirmation 2
Les normes de construction imposent que la pente d'un toit représentée ici par l'angle doit avoir une mesure comprise entre 30° et 35°. Une coupe du toit est représentée ci-contre : AC = 6 m et AH = 5 m. H est le milieu de [AB].
Le charpentier affirme que sa construction respecte la norme.
Affirmation 3
Un peintre souhaite repeindre les volets d'une maison. Il constate qu'il utilise du pot pour mettre une couche de peinture sur l'intérieur et l'extérieur d'un volet. Il doit peindre ses 4 paires de volets et mettre sur chaque volet 3 couches de peinture. Il affirme qu'il lui faut 2 pots de peinture.
Les clés du sujet
Points du programme
Réciproque du théorème de Pythagore • Trigonométrie.
Nos coups de pouce
Affirmation 1
Calcule AB2, AC2, BC2, puis applique la réciproque du théorème de Pythagore.
Affirmation 2
Par exemple, calcule dans le triangle CAH rectangle en H.
Affirmation 3
Raisonnement possible :
Calcule le nombre de volets à repeindre.
Calcule la quantité de peinture nécessaire pour passer une couche sur tous les volets.
Déduis-en la quantité de peinture nécessaire pour passer 3 couches sur tous les volets.
Corrigé
Affirmation 1
Calculons :
AB2 = 652 = 4 225
AC2 = 722 = 5 184
BC2 = 972 = 9 409
Nous remarquons que 9 409 = 4 225 + 5 184, donc BC2 = AB2 + AC2.
D'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABC est rectangle en A. L'étagère a un angle droit et l'affirmation 1 est vraie.
Affirmation 2
Rappel
D'après le codage, le triangle CAH est rectangle en H. Nous avons :
La calculatrice donne = 34° (valeur arrondie au degré).
Pour que la norme soit respectée, il faut avoir 30° 35°.
Nous avons bien 30° 34° 35°.
En conséquence l'affirmation 2 est vraie.
Affirmation 3
Le peintre doit repeindre 4 paires de volets, soit 8 volets. La quantité de peinture nécessaire pour une couche est donc égale à de pot.
Mais il doit mettre 3 couches de peinture. Il lui faut pots, soit 4 pots. Donc l'affirmation 3 est fausse.