Vrai/faux : 4 ­questions (suites, convexité, loi normale)

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle ES - Tle L | Thème(s) : Fonction logarithme népérien
Type : Exercice | Année : 2013 | Académie : France métropolitaine
 
Unit 1 - | Corpus Sujets - 1 Sujet
 
Vrai/faux : 4 ­questions (suites, convexité, loi normale)
 
 

Analyse • Fonction logarithme népérien

Corrigé

15

Ens. spécifique

matT_1306_07_03C

 

France métropolitaine • Juin 2013

Exercice 2 • 4 points

Pour chacune des questions posées, une proposition est faite. Il est demandé de déterminer si cette proposition est vraie ou fausse, en justifiant.

>1. Un étudiant a travaillé durant l’été et dispose d’un capital de 2 500 euros.

À partir du premier septembre 2013, il place son capital sur un compte rapportant 0,2 % d’intérêts composés par mois et il loue une chambre qui lui coûte 425 euros par mois.

On note le capital disponible, exprimé en euros, au début de chaque mois. Par exemple, le capital disponible au début du mois d’octobre vaudra :  euros.

L’année universitaire s’achève à la fin du mois de juillet 2014.

On admet que la suite des capitaux est décrite par les relations :

  •  ;
  • Pour tout entier naturel , .

Proposition : Sans apport supplémentaire, l’étudiant sera à découvert à partir du mois de mars 2014.

>2. Sur , on définit la fonction par

Proposition : est une fonction convexe sur .

>3. On définit sur l’intervalle , On a effectué à l’aide d’un logiciel de calcul formel les séquences suivantes :

 

1

dériver ((2x)*ln(x) – 2x +5)

2

simplifier

ln(x²)

 

Proposition : est une primitive de la fonction  définie sur  par

>4. est une variable aléatoire suivant la loi normale d’espérance et d’écart-type .

Proposition : .

Durée conseillée : 35 min.

Les thèmes en jeu

Suite géométrique • Dérivée • Fonction logarithme népérien • Convexité • Primitive.

Les conseils du correcteur

>1. Le capital disponible début mars 2014 est  (en euros).

>2. Calculez la dérivée seconde de  et étudiez son signe.

>4. équivaut à .

Corrigé

>1. Calculer les termes successifs d’une suite

 ;

 ;  ;

 ;  ;

 ;

Or est le capital (en euros) de l’étudiant au début du mois de mars 2014 ; ce capital est négatif, donc sans apport supplémentaire, l’étudiant sera à découvert à partir du mois de mars 2014.

La proposition est vraie.

>2. Étudier la convexité d’une fonction

Pour tout , , . Donc pour tout  ; est donc convexe sur .

La proposition est vraie.

>3. Calculer la dérivée d’une fonction comportant un logarithme

D’après le logiciel, pour tout  :

Or, d’après les propriétés de la fonction logarithme népérien :

La proposition est vraie.

>4. Calculer une probabilité associée à une loi normale

 

Notez bien

On peut aussi obtenir une valeur approchée de avec la calculatrice.

D’après le cours, si est une variable aléatoire suivant la loi normale d’espérance et d’écart-type , alors .

Or si et , alors et .

La proposition est vraie.