Analyse • Fonction logarithme népérien
Corrigé
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Ens. spécifique
matT_1306_07_03C
France métropolitaine • Juin 2013
Exercice 2 • 4 points
À partir du premier septembre 2013, il place son capital sur un compte rapportant 0,2 % d'intérêts composés par mois et il loue une chambre qui lui coûte 425 euros par mois.
On note le capital disponible, exprimé en euros, au début de chaque mois. Par exemple, le capital disponible au début du mois d'octobre vaudra :
euros.
L'année universitaire s'achève à la fin du mois de juillet 2014.
On admet que la suite des capitaux est décrite par les relations :
Proposition : Sans apport supplémentaire, l'étudiant sera à découvert à partir du mois de mars 2014.
, on définit la fonction
par
Proposition : est une fonction convexe sur
.
,
On a effectué à l'aide d'un logiciel de calcul formel les séquences suivantes :
> 1. Calculer les termes successifs d'une suite
Or est le capital (en euros) de l'étudiant au début du mois de mars 2014 ce capital est négatif, donc sans apport supplémentaire, l'étudiant sera à découvert à partir du mois de mars 2014.
> 2. Étudier la convexité d'une fonction
> 3. Calculer la dérivée d'une fonction comportant un logarithme
D'après le logiciel, pour tout :
Or, d'après les propriétés de la fonction logarithme népérien :
Pour chacune des questions posées, une proposition est faite. Il est demandé de déterminer si cette proposition est vraie ou fausse, en justifiant.