Vrai/faux : 4 ­questions (suites, convexité, loi normale)

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle ES - Tle L | Thème(s) : Fonction logarithme népérien
Type : Exercice | Année : 2013 | Académie : France métropolitaine
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Unit 1 - | Corpus Sujets - 1 Sujet
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Vrai/faux : 4 &shy questions (suites, convexité, loi normale)
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Analyse &bull Fonction logarithme népérien

Corrigé

15

Ens. spécifique

matT_1306_07_03C

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France métropolitaine &bull Juin 2013

Exercice 2 &bull 4 points

Pour chacune des questions posées, une proposition est faite. Il est demandé de déterminer si cette proposition est vraie ou fausse, en justifiant.

&gt 1. Un étudiant a travaillé durant l&rsquo été et dispose d&rsquo un capital de 2 500 euros.

À partir du premier septembre 2013, il place son capital sur un compte rapportant 0,2 % d&rsquo intérêts composés par mois et il loue une chambre qui lui coûte 425 euros par mois.

On note le capital disponible, exprimé en euros, au début de chaque mois. Par exemple, le capital disponible au début du mois d&rsquo octobre vaudra :  euros.

L&rsquo année universitaire s&rsquo achève à la fin du mois de juillet 2014.

On admet que la suite des capitaux est décrite par les relations :

  • Pour tout entier naturel , .

Proposition : Sans apport supplémentaire, l&rsquo étudiant sera à découvert à partir du mois de mars 2014.

&gt 2. Sur , on définit la fonction par

Proposition : est une fonction convexe sur .

&gt 3. On définit sur l&rsquo intervalle , On a effectué à l&rsquo aide d&rsquo un logiciel de calcul formel les séquences suivantes :

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1

dériver ((2x)*ln(x) &ndash  2x +5)

2

simplifier

ln(x&sup2 )

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Proposition : est une primitive de la fonction  définie sur  par

&gt 4. est une variable aléatoire suivant la loi normale d&rsquo espérance et d&rsquo écart-type .

Proposition : .

Durée conseillée : 35 min.

Les thèmes en jeu

Suite géométrique &bull Dérivée &bull Fonction logarithme népérien &bull Convexité &bull Primitive.

Les conseils du correcteur

&gt 1. Le capital disponible début mars 2014 est  (en euros).

&gt 2. Calculez la dérivée seconde de  et étudiez son signe.

&gt 4. équivaut à .