Analyse • Fonction logarithme népérien
Corrigé
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Ens. spécifique
matT_1306_07_03C
France métropolitaine • Juin 2013
Exercice 2 • 4 points
À partir du premier septembre 2013, il place son capital 
sur un compte rapportant 0,2 % d’intérêts composés par mois et il loue une chambre qui lui coûte 425 euros par mois.
On note 
le capital disponible, exprimé en euros, au début de chaque mois. Par exemple, le capital disponible au début du mois d’octobre vaudra : 
euros.
L’année universitaire s’achève à la fin du mois de juillet 2014.
On admet que la suite des capitaux 
est décrite par les relations :
;- Pour tout entier naturel
, 
.
Proposition : Sans apport supplémentaire, l’étudiant sera à découvert à partir du mois de mars 2014.
, on définit la fonction 
par 
Proposition : 
est une fonction convexe sur 
.
, 
On a effectué à l’aide d’un logiciel de calcul formel les séquences suivantes :
|
1 |
dériver ((2x)*ln(x) – 2x +5) |
|
|
2 |
simplifier |
ln(x²) |
Proposition : 
est une primitive de la fonction 
définie sur 
par 
est une variable aléatoire suivant la loi normale d’espérance 
et d’écart-type 
.
Proposition : 
.
Durée conseillée : 35 min.
Les thèmes en jeu
Suite géométrique • Dérivée • Fonction logarithme népérien • Convexité • Primitive.
Les conseils du correcteur
(en euros).
et étudiez son signe.
équivaut à 
.
> 1. Calculer les termes successifs d’une suite
;
; 
;
; 
;
; 
Or 
est le capital (en euros) de l’étudiant au début du mois de mars 2014 ; ce capital est négatif, donc sans apport supplémentaire, l’étudiant sera à découvert à partir du mois de mars 2014.
> 2. Étudier la convexité d’une fonction
Pour tout 
, 
, 
. Donc 
pour tout 
; 
est donc convexe sur 
.
> 3. Calculer la dérivée d’une fonction comportant un logarithme
D’après le logiciel, pour tout 
:
Or, d’après les propriétés de la fonction logarithme népérien :
> 4. Calculer une probabilité associée à une loi normale
Notez bien
On peut aussi obtenir une valeur approchée de 
avec la calculatrice.
D’après le cours, si 
est une variable aléatoire suivant la loi normale d’espérance 
et d’écart-type 
, alors 
.
Or si 
et 
, alors 
et 
.
Pour chacune des questions posées, une proposition est faite. Il est demandé de déterminer si cette proposition est vraie ou fausse, en justifiant.