Intégration
matT_1404_12_09C
Ens. spécifique
20
CORRIGE
Pondichéry • Avril 2014
Exercice 1 • 4 points
Pour chacune des propositions, déterminer si la proposition est vraie ou fausse et justifier la réponse. (1 point par question)
représentative d'une fonction
définie et dérivable sur

Proposition : le nombre dérivé est égal à
.
une fonction définie et deux fois dérivable sur
.
La courbe représentative de la fonction , dérivée seconde de la fonction
, est donnée ci-après.
Le point de coordonnées (1 0) est le seul point d'intersection de cette courbe et de l'axe des abscisses.

Proposition : la fonction est convexe sur l'intervalle [1 4].
définie et continue sur l'intervalle [0 2] est donnée en figure 1.
La courbe représentative d'une de ses primitives, , est donnée sur la figure 2. La courbe représentative de
passe par les points A(0 1), B(1 1) et C(2 5).

Figure 1

Figure 2
Les thèmes en jeu
Dérivée • Tangente • Convexité • Fonction exponentielle • Fonction logarithme népérien • Primitive • Intégrale, calcul d'aire.
Les conseils du correcteur
.
est continue et positive sur l'intervalle
(avec
), alors l'aire, en unités d'aire, du domaine délimité par l'axe des abscisses, la courbe représentative de
et les droites d'équations
et
est
cette intégrale s'exprime à l'aide d'une primitive
de
.
> 1. Déterminer graphiquement le nombre dérivé d'une fonction en un point
est le coefficient directeur de la tangente
.
, donc si on note respectivement
et
les coordonnées des points A et B, le coefficient directeur de (AB) est :
> 2. Étudier la convexité d'une fonction sur un intervalle
Une fonction deux fois dérivable sur un intervalle est convexe sur cet intervalle si et seulement si sa dérivée seconde est positive sur cet intervalle.
Graphiquement, est négative sur [1 4] (sa courbe représentative sur cet intervalle est située en-dessous de l'axe des abscisses), donc
n'est pas convexe sur [1 4].