Vrai/faux sur les fonctions, avec justification : 4 questions

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle ES - Tle L | Thème(s) : Intégration
Type : Exercice | Année : 2014 | Académie : Pondichéry
Corpus Corpus 1
Vrai/faux sur les fonctions, avec  justification  : 4 questions

Intégration

matT_1404_12_09C

Ens. spécifique

20

CORRIGE

Pondichéry  • Avril 2014

Exercice 1 • 4 points

Pour chacune des propositions, déterminer si la proposition est vraie ou fausse et justifier la réponse. (1 point par question)

>1. La courbe représentative d’une fonction définie et dérivable sur est représentée ci-dessous.

On a tracé la tangente à au point A(–  1  3).

passe par le point B(0  –  2).


Proposition  : le nombre dérivé est égal à .

>2. On désigne par une fonction définie et deux fois dérivable sur.

La courbe représentative de la fonction , dérivée seconde de la fonction , est donnée ci-après.

Le point de coordonnées (1  0) est le seul point d’intersection de cette courbe et de l’axe des abscisses.


Proposition  : la fonction est convexe sur l’intervalle [1  4].

>3.Proposition  : on a l’égalité  :

>4. La courbe représentative d’une fonction définie et continue sur l’intervalle [0  2] est donnée en figure  1.

La courbe représentative d’une de ses primitives, , est donnée sur la figure  2. La courbe représentative de passe par les points A(0  1), B(1  1) et C(2  5).


Figure  1


Figure  2

Proposition  : la valeur exacte de l’aire de la partie grisée sous la courbe de en figure  1 est 4  unités d’aires.

Les clés du sujet

Les thèmes en jeu

Dérivée • Tangente • Convexité • Fonction exponentielle • Fonction logarithme népérien • Primitive • Intégrale, calcul d’aire.

Les conseils du correcteur

>1. Déterminez à partir des coordonnées des points A et B le coefficient directeur de la tangente .

>2. Utilisez le résultat du cours sur le lien entre la convexité d’une fonction et le signe de sa dérivée seconde.

>3. Utilisez les propriétés de la fonction logarithme népérien et de la fonction exponentielle.

>4. Si la fonction est continue et positive sur l’intervalle (avec ), alors l’aire, en unités d’aire, du domaine délimité par l’axe des ­abscisses, la courbe représentative de et les droites d’équations et  ­ est   cette intégrale s’exprime à l’aide d’une primitive de .

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