Vrai/faux sur les fonctions, avec justification : 4 questions

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle ES - Tle L | Thème(s) : Intégration
Type : Exercice | Année : 2014 | Académie : Pondichéry
Corpus Corpus 1
Vrai/faux sur les fonctions, avec justification : 4 questions

Intégration

matT_1404_12_09C

Ens. spécifique

20

CORRIGE

Pondichéry • Avril 2014

Exercice 1 • 4 points

Pour chacune des propositions, déterminer si la proposition est vraie ou fausse et justifier la réponse. (1 point par question)

>1. La courbe représentative d’une fonction définie et dérivable sur est représentée ci-dessous.

On a tracé la tangente à au point A(– 1 ; 3).

passe par le point B(0 ; – 2).


Proposition : le nombre dérivé est égal à .

>2. On désigne par une fonction définie et deux fois dérivable sur.

La courbe représentative de la fonction , dérivée seconde de la fonction , est donnée ci-après.

Le point de coordonnées (1 ; 0) est le seul point d’intersection de cette courbe et de l’axe des abscisses.


Proposition : la fonction est convexe sur l’intervalle [1 ; 4].

>3.Proposition : on a l’égalité :

>4. La courbe représentative d’une fonction définie et continue sur l’intervalle [0 ; 2] est donnée en figure 1.

La courbe représentative d’une de ses primitives, , est donnée sur la figure 2. La courbe représentative de passe par les points A(0 ; 1), B(1 ; 1) et C(2 ; 5).


Figure 1


Figure 2

Proposition : la valeur exacte de l’aire de la partie grisée sous la courbe de en figure 1 est 4 unités d’aires.

Les clés du sujet

Les thèmes en jeu

Dérivée • Tangente • Convexité • Fonction exponentielle • Fonction logarithme népérien • Primitive • Intégrale, calcul d’aire.

Les conseils du correcteur

>1. Déterminez à partir des coordonnées des points A et B le coefficient directeur de la tangente .

>2. Utilisez le résultat du cours sur le lien entre la convexité d’une fonction et le signe de sa dérivée seconde.

>3. Utilisez les propriétés de la fonction logarithme népérien et de la fonction exponentielle.

>4. Si la fonction est continue et positive sur l’intervalle (avec ), alors l’aire, en unités d’aire, du domaine délimité par l’axe des ­abscisses, la courbe représentative de et les droites d’équations et ­ est  ; cette intégrale s’exprime à l’aide d’une primitive de .

Corrigé
Corrigé

>1. Déterminer graphiquement le nombre dérivé d’une fonction en un point

est le coefficient directeur de la tangente .

, donc si on note respectivement et les coordonnées des points A et B, le coefficient directeur de (AB) est :

.

Donc .

La proposition1.est fausse.

>2. Étudier la convexité d’une fonction sur un intervalle

Attention !

est concave sur [1 ; 4].

Une fonction deux fois dérivable sur un intervalle est convexe sur cet intervalle si et seulement si sa dérivée seconde est positive sur cet intervalle.

Graphiquement, est négative sur [1 ; 4] (sa courbe représentative sur cet intervalle est située en-dessous de l’axe des abscisses), donc n’est pas convexe sur [1 ; 4].

La proposition2.est fausse.

>3. Transformer une expression comportant des logarithmes et des exponentielles

Notez bien

Pour tout réel strictement positif, .

, donc .

, donc : .

Donc :

La proposition3.est vraie.

>4. Calculer l’aire d’un domaine plan

est continue et positive sur [1 ; 2], donc l’aire de la partie coloriée est, en unités d’aire :

est une primitive de sur [0 ; 2], donc .

Par lecture graphique, et .

Donc .

La proposition4.est vraie.