Intégration
matT_1404_12_09C
Ens. spécifique
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CORRIGE
Pondichéry • Avril 2014
Exercice 1 • 4 points
Pour chacune des propositions, déterminer si la proposition est vraie ou fausse et justifier la réponse. (1 point par question)
représentative d'une fonction 
définie et dérivable sur
On a tracé la tangente 
à 
au point A(– 1 3).
passe par le point B(0 – 2).
Proposition : le nombre dérivé 
est égal à 
.
une fonction définie et deux fois dérivable sur
.
La courbe représentative de la fonction 
, dérivée seconde de la fonction 
, est donnée ci-après.
Le point de coordonnées (1 0) est le seul point d'intersection de cette courbe et de l'axe des abscisses.
Proposition : la fonction 
est convexe sur l'intervalle [1 4].
définie et continue sur l'intervalle [0 2] est donnée en figure 1.
La courbe représentative d'une de ses primitives, 
, est donnée sur la figure 2. La courbe représentative de 
passe par les points A(0 1), B(1 1) et C(2 5).
Figure 1
Figure 2
Proposition : la valeur exacte de l'aire de la partie grisée sous la courbe de 
en figure 1 est 4 unités d'aires.
Les thèmes en jeu
Dérivée • Tangente • Convexité • Fonction exponentielle • Fonction logarithme népérien • Primitive • Intégrale, calcul d'aire.
Les conseils du correcteur
.
est continue et positive sur l'intervalle 
(avec 
), alors l'aire, en unités d'aire, du domaine délimité par l'axe des abscisses, la courbe représentative de 
et les droites d'équations 
et 
est 
cette intégrale s'exprime à l'aide d'une primitive 
de 
.
> 1. Déterminer graphiquement le nombre dérivé d'une fonction en un point
est le coefficient directeur de la tangente 
.
, donc si on note respectivement 
et 
les coordonnées des points A et B, le coefficient directeur de (AB) est :
.
Donc 
.
> 2. Étudier la convexité d'une fonction sur un intervalle
Attention !
est concave sur [1 4].
Une fonction deux fois dérivable sur un intervalle est convexe sur cet intervalle si et seulement si sa dérivée seconde est positive sur cet intervalle.
Graphiquement, 
est négative sur [1 4] (sa courbe représentative sur cet intervalle est située en-dessous de l'axe des abscisses), donc 
n'est pas convexe sur [1 4].
> 3. Transformer une expression comportant des logarithmes et des exponentielles
Notez bien
Pour tout réel 
strictement positif, 
.
, donc 
.
, donc : 
.
Donc :
> 4. Calculer l'aire d'un domaine plan
est continue et positive sur [1 2], donc l'aire de la partie coloriée est, en unités d'aire :
est une primitive de 
sur [0 2], donc 
.
Par lecture graphique, 
et 
.
Donc 
.