Intégration
matT_1404_12_09C
Ens. spécifique
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CORRIGE
Pondichéry • Avril 2014
Exercice 1 • 4 points
Pour chacune des propositions, déterminer si la proposition est vraie ou fausse et justifier la réponse. (1 point par question)
représentative d’une fonction 
définie et dérivable sur
On a tracé la tangente 
à 
au point A(– 1 ; 3).
passe par le point B(0 ; – 2).
Proposition : le nombre dérivé 
est égal à 
.
une fonction définie et deux fois dérivable sur
.
La courbe représentative de la fonction 
, dérivée seconde de la fonction 
, est donnée ci-après.
Le point de coordonnées (1 ; 0) est le seul point d’intersection de cette courbe et de l’axe des abscisses.
Proposition : la fonction 
est convexe sur l’intervalle [1 ; 4].
définie et continue sur l’intervalle [0 ; 2] est donnée en figure 1.
La courbe représentative d’une de ses primitives, 
, est donnée sur la figure 2. La courbe représentative de 
passe par les points A(0 ; 1), B(1 ; 1) et C(2 ; 5).
Figure 1
Figure 2
Proposition : la valeur exacte de l’aire de la partie grisée sous la courbe de 
en figure 1 est 4 unités d’aires.
Les thèmes en jeu
Dérivée • Tangente • Convexité • Fonction exponentielle • Fonction logarithme népérien • Primitive • Intégrale, calcul d’aire.
Les conseils du correcteur
.
est continue et positive sur l’intervalle 
(avec 
), alors l’aire, en unités d’aire, du domaine délimité par l’axe des abscisses, la courbe représentative de 
et les droites d’équations 
et 
est 
; cette intégrale s’exprime à l’aide d’une primitive 
de 
.
> 1. Déterminer graphiquement le nombre dérivé d’une fonction en un point
est le coefficient directeur de la tangente 
.
, donc si on note respectivement 
et 
les coordonnées des points A et B, le coefficient directeur de (AB) est :
.
Donc 
.
> 2. Étudier la convexité d’une fonction sur un intervalle
Attention !
est concave sur [1 ; 4].
Une fonction deux fois dérivable sur un intervalle est convexe sur cet intervalle si et seulement si sa dérivée seconde est positive sur cet intervalle.
Graphiquement, 
est négative sur [1 ; 4] (sa courbe représentative sur cet intervalle est située en-dessous de l’axe des abscisses), donc 
n’est pas convexe sur [1 ; 4].
> 3. Transformer une expression comportant des logarithmes et des exponentielles
Notez bien
Pour tout réel 
strictement positif, 
.
, donc 
.
, donc : 
.
Donc :
> 4. Calculer l’aire d’un domaine plan
est continue et positive sur [1 ; 2], donc l’aire de la partie coloriée est, en unités d’aire :
est une primitive de 
sur [0 ; 2], donc 
.
Par lecture graphique, 
et 
.
Donc 
.
