LES PRONOSTICS 2019 DU BAC S – MATHS
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LES PRONOSTICS 2019 DU BAC S – Maths
PAR Martine Salmon

Thèmes possibles au bac S

 

Tous les thèmes du programme peuvent faire l’objet d’une question dans un exercice de bac.

Mais certains, qui « tombent » plus souvent que d’autres, peuvent être privilégiés. Ils sont indiqués ci-dessous, avec quelques précisions.

L’objectif est de vous aider à élaborer un planning de révision efficace, à déterminer des priorités, mais vous ne devez négliger aucun chapitre !

Par ailleurs, dans la plupart des sujets, il y a dorénavant un QCM (questionnaire à choix multiples) ou un Vrai/Faux avec justification de la réponse ; il est donc nécessaire de s’entraîner à ce type d’exercice.

Notez aussi que pour l’épreuve de mathématiques du bac 2019, les candidats qui disposent d’une calculatrice avec « mode examen » (annoncé puis finalement abandonné pour le bac 2018) ne devront pas l’activer.

 

 

ENSEIGNEMENT SPÉCIFIQUE

 

ANALYSE

< Fonction exponentielle, fonction logarithme népérien

Dans tous les sujets, on trouve un exercice, voire deux, autour de l’étude d’une fonction, qui comporte presque toujours un logarithme ou une exponentielle.

Toutes les conclusions (limites, signe de la dérivée, variations) doivent être soigneusement justifiées. L’étude de la fonction peut être précédée de celle d’une fonction « auxiliaire », ou de conjectures émises par lecture graphique. Dans ces situations, il est important de lire tout l’énoncé de l’exercice avant de commencer sa résolution, pour mieux comprendre l’objectif.

 

< Suites numériques, algorithmes

Les suites permettent de modéliser des phénomènes d’évolution. Les résultats du cours doivent être parfaitement connus, y compris ceux vus en première (sur les suites géométriques par exemple). L’objectif est souvent d’étudier la convergence et de déterminer la limite de la suite ; dans ce type de questions, on utilise fréquemment le « théorème de convergence monotone » ou le « théorème des gendarmes ».

Lorsqu’une démonstration par récurrence est attendue, elle doit être soigneusement rédigée.

De plus, les exercices sur les suites comportent souvent une question autour d’un algorithme : calcul d’un terme d’indice donné ou de l’indice du premier terme vérifiant une condition donnée, rôle d’un algorithme, affichage obtenu en sortie … Il peut être demandé de dresser un « tableau d’étapes », à construire à partir d’un tableau donné dans l’énoncé en ajoutant éventuellement le nombre de lignes nécessaires.

 

< Théorème des valeurs intermédiaires

Il permet de montrer, sous certaines conditions, l’existence (et l’unicité), sur un intervalle donné, de solutions d’une équation du type fx=k. La détermination d’un encadrement de l’une de ces solutions peut faire l’objet d’un algorithme et/ou nécessiter l’utilisation de la calculatrice.

 

 

GÉOMÉTRIE

< Géométrie dans l’espace, représentations paramétriques et équations cartésiennes de droites et de plans

Il faut connaître les positions relatives possibles de droites et de plans de l’espace, et les intersections associées. Il est important de savoir faire le lien avec le calcul vectoriel (vecteurs directeurs d’un plan, d’une droite, produit scalaire, vecteur normal à un plan) et de savoir traduire les résultats à l’aide de coordonnées de points et d’équations de droites et/ou de plans.

 

< Nombres complexes

Il faut savoir calculer avec les nombres complexes, résoudre une équation du second degré à coefficients réels (suivant le signe de son discriminant), connaître les différentes formes d’un nombre complexe, interpréter graphiquement les notions et propriétés : complexes conjugués, module et argument … Un raisonnement de type géométrique est parfois plus rapide qu’un calcul. Par ailleurs, un certain nombre de notions de trigonométrie doivent être maîtrisées.

 

 

PROBABILITÉS ET STATISTIQUES

< Probabilités conditionnelles ; indépendance

Le plus important (et souvent le plus délicat) est de savoir traduire en termes de probabilités les données de l’énoncé, parfois exprimées en termes de pourcentages.

Les probabilités conditionnelles sont généralement associées à la construction d’un arbre pondéré.

Certaines confusions sont à éviter : un événement / sa probabilité ; probabilité conditionnelle / probabilité de l’intersection de deux événements ; événements indépendants / événements incompatibles….

 

< Lois normales

Les probabilités associées sont généralement déterminées avec la calculatrice, il est donc nécessaire de bien en connaître l’utilisation.

 

 

ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ

 

< Arithmétique : divisibilité, PGCD, théorèmes de Bézout et Gauss, nombres premiers

Il faut savoir traduire de différentes manières les relations entre deux nombres entiers, à l’aide des notions de multiples et diviseurs et à partir de la division euclidienne et de la relation de congruence. Ces notions peuvent être utilisées par exemple dans des problèmes de codage, de chiffrement…

 

< Opérations sur les matrices, inverse d’une matrice

On utilise généralement la calculatrice ; il est donc important d’en connaître les fonctionnalités.

 

 

< Suites de matrices, étude asymptotique

Il s’agit d’étudier des phénomènes (évolution de populations, marches aléatoires, pertinence de pages web …) modélisés par des suites de matrices. Une question a parfois pour objectif de calculer une puissance d’une matrice donnée ; une démonstration par récurrence est alors souvent attendue.

 

 

Autres thèmes possibles au bac S

 

Les exercices de bac (en particulier les QCM et les exercices de type Vrai/Faux, mais pas uniquement) font fréquemment intervenir plusieurs thèmes du programme de terminale, et même du programme de première.

Les thèmes suivants ne doivent pas être laissés de côté. Ils peuvent intervenir dans un exercice, même s’ils n’en font pas l’objet principal ; leur connaissance peut également être préalable à l’étude d’autres notions.

 

< Primitives et intégrales

La plupart des calculs (intégrale, aire d’un domaine, valeur moyenne d’une fonction) utilisent la notion de primitive. On demande quelquefois de donner, par lecture graphique, un encadrement du résultat ; il faut tenir compte de l’unité d’aire et éviter toute réponse « aberrante ».

 

< Variables aléatoires ; loi binomiale

Les variables aléatoires et la notion d’espérance ont été définies et étudiées en première.

La loi binomiale, également vue en première, fait souvent l’objet d’une question dans les exercices de probabilités. Elle correspond à une situation qu’il faut savoir identifier : répétition d’épreuves à deux issues, identiques et indépendantes, où l’on compte le nombre de « succès ».

 

< Lois exponentielles

Si un phénomène est modélisé par une variable aléatoire suivant une telle loi, l’énoncé l’indique explicitement. Il ne faut pas oublier qu’il s’agit d’une loi « de durée de vie sans vieillissement ».

 

< Échantillonnage et estimation

En utilisant une variable aléatoire qui suit une loi normale, on peut déterminer un intervalle de fluctuation à 95 %, pour une prise de décision sur la validité ou la non-validité d’un modèle, ou un intervalle de confiance au seuil de confiance de 95 % pour estimer une proportion à partir du résultat d’un échantillonnage. Dans tous les cas, il faut penser à vérifier les conditions de validité.

 

< Arithmétique (spécialité) : équations diophantiennes

La résolution suit un « schéma » classique et fait appel à plusieurs résultats d’arithmétique (PGCD, théorèmes de Bézout et de Gauss …).  La partie « réciproque » ne doit pas être oubliée.

 

Des sujets pour s’entraîner

 

<  Fonction exponentielle, fonction logarithme népérien

https://www.annabac.com/annales-bac/sujet-complet-de-france-metropolitaine-2018-0

(France Métropolitaine juin 2018 – exercice 1 « Arcs de chaînette »)

Dans cet exercice, il s’agit de déterminer la position d’un point M sur la courbe représentative C d’une fonction comportant une exponentielle pour que la hauteur et la largeur de l’arc correspondant soient égales. La recherche se ramène à la résolution d’une équation. L’existence et l’unicité de la solution sont justifiées à l’aide du théorème des valeurs intermédiaires, un encadrement de cette solution est déterminé par un algorithme de dichotomie. L’exercice se termine par l’application à la détermination d’un encadrement de la hauteur de la Gateway Arch, édifiée dans la ville de Saint-Louis aux États-Unis.

 

< Suites numériques

https://www.annabac.com/annales-bac/sujet-complet-d-amerique-du-nord-2017-0

(Amérique du Nord 2017 – exercice 3 « Somme et produit de termes d’une suite »)

Le but de cet exercice est d’étudier les suites de termes positifs, de premier terme strictement supérieur à 1 et telles que, pour tout entier naturel n, la somme et le produit des n premiers termes consécutifs soient égaux.

L’exercice comporte un algorithme à compléter. Les dernières questions portent sur l’étude de la convergence de deux suites par comparaison et par opérations.

 

 

< Nombres complexes

https://www.annabac.com/annales-bac/sujet-complet-de-pondichery-2018-0

(Pondichéry 2018 – exercice 2 « Un classique chez les complexes ! »)

Dans cet exercice effectivement très classique, il s’agit d’étudier à l’aide des nombres complexes une configuration du plan, faisant intervenir, entre autres, des cercles et des points alignés. Toutes les écritures d’un nombre complexe sont utilisées : forme algébrique, forme trigonométrique, forme exponentielle

 

 

< Géométrie dans l’espace

https://www.annabac.com/annales-bac/sujet-complet-d-amerique-du-nord-2018-0

 

(Amérique du Nord 2018 – exercice 3 « Perpendiculaire commune à deux droites »)

Dans cet exercice, il s’agit de montrer que deux droites D1  et D2  données, non coplanaires, admettent une unique perpendiculaire commune Δ, puis de vérifier que la distance minimale entre les droites D1  et D2  est la distance de leurs points d’intersection respectifs avec la droite Δ. La démarche est guidée ; les calculs se font dans un repère orthonormé donné.

 

 

<  Probabilités conditionnelles et suites

https://www.annabac.com/annales-bac/sujet-complet-d-afrique-2018

(Centres étrangers 2018 – exercice 3 « Vente de melons »)

Cet exercice en deux parties étudie l’évolution au cours du temps de la quantité de melons vendus par un détaillant en fruits et légumes.

Dans la première partie, on doit, entre autres, à l’aide d’un intervalle de fluctuation asymptotique remettre en cause ou pas une affirmation de l’un des maraîchers approvisionnant le détaillant. Dans la deuxième partie, une suite modélise la probabilité qu’un client achète un melon un jour donné.

 

 

<  Probabilités ; loi normale, intervalle de fluctuation, intervalle de confiance

https://www.annabac.com/annales-bac/sujet-complet-de-pondichery-2018-0

(Pondichéry 2018 – exercice 3 « Masse d’un paquet de sucre»)

Dans la partie A, deux variables aléatoires suivant des lois normales modélisent la taille des cristaux de sucre provenant de deux exploitations. Dans la partie B, il s’agit, en utilisant des probabilités conditionnelles, d’optimiser l’approvisionnement d’une entreprise conditionnant du sucre. Dans la partie C, la qualité de la production de cette entreprise est analysée à l’aide d’un intervalle de fluctuation et d’un intervalle de confiance.

 

 

< Spécialité : arithmétique – congruences, problème de cryptage

https://www.annabac.com/annales-bac/sujet-complet-d-afrique-2018

(Centres étrangers 2018 – exercice 4 spécialité « Cryptage et décryptage avec le système RSA »)

L’objectif de cet exercice est l’étude d’une méthode de cryptage à clé publique appelée système RSA du nom de ses inventeurs, publiée en 1978. Dans les deux premières questions sont établis des résultats préliminaires sur les congruences et la résolution d’une équation diophantienne. Le cryptage est étudié dans la question 3, le décryptage dans la question 4.

 

 

< Spécialité : matrices et suites

https://www.annabac.com/annales-bac/sujet-complet-d-amerique-du-nord-2018-0

(Amérique du Nord 2018 – exercice 4 spécialité « Cohabitation entre campagnols et renards »)

Cet exercice porte sur l’étude d’un système proies-prédateurs, les proies sont les campagnols, leurs prédateurs les renards. Les populations de campagnols et de renards sont modélisées par deux suites ; deux modèles différents sont étudiés. La dernière question de l’exercice concerne la recherche d’un éventuel « état stable » dans le cadre du deuxième modèle.

 

 

< Exercice avec prise d’initiative

https://www.annabac.com/annales-bac/sujet-complet-du-liban-2018-0

(Liban 2017 – exercice 2 « Vrai ou faux »)

Dans cet exercice « à prise d’initiative », les premières questions portent sur les formes trigonométrique et exponentielle de nombres complexes. Il s’agit ensuite, tout en justifiant la réponse, de répondre « vrai » ou « faux » à deux affirmations portant sur un nombre complexe ; cas où il est réel, cas où il est nul.

Aucune indication n’est fournie quant au raisonnement à suivre.