Maths - Série S
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Les pronostics du bac S – Maths

Par Martine Salmon

 

Les thèmes possibles au bac S

 

Bien évidemment, tous les thèmes du programme peuvent faire l’objet d’une question dans un exercice de bac.

 

Cependant, quelques thèmes peuvent être privilégiés, compte tenu du grand nombre de questions qui les mettent en œuvre dans les exercices de bac de ces dernières années. Ils sont indiqués ci-dessous, avec quelques précisions.

 

Cela devrait vous permettre, dans les semaines précédant l’examen, d’élaborer un planning de révision efficace, de déterminer des priorités, mais vous ne devez négliger aucun chapitre !

L’épreuve de mathématiques peut par ailleurs comporter un exercice ouvert ou « à prise d’initiative », faisant appel à l’ensemble des connaissances des programmes de première et de terminale.

 

 

ENSEIGNEMENT SPÉCIFIQUE

ANALYSE

Fonction exponentielle, fonction logarithme népérien

Dans tous les sujets, il y a (au moins) un exercice autour de l’étude d’une fonction .

Toutes les conclusions (limites, signe de la dérivée) doivent être soigneusement justifiées. L’étude de la fonction  peut être précédée de celle d’une fonction « auxiliaire »  dont le signe donne celui de , ou de conjectures établies par lecture graphique.

 

Suites numériques, algorithmes

Les suites permettent d’étudier des phénomènes d’évolution. Il est essentiel de bien connaître les résultats du cours, y compris ceux vus en première (sur les suites géométriques par exemple), et les théorèmes de terminale sur la convergence. En effet, l’objectif est souvent d’étudier la convergence et de déterminer la limite de la suite.

Il est fréquemment demandé d’établir un résultat à l’aide d’une démonstration par récurrence ; celle-ci doit être soigneusement rédigée.

De plus, les exercices sur les suites comportent souvent une question autour d’un algorithme : calcul d’un terme d’indice donné ou de l’indice du premier terme vérifiant une condition donnée, rôle d’un algorithme, affichage obtenu en sortie… Il peut être demandé de compléter un « tableau d’étapes ».

 

Théorème des valeurs intermédiaires

Il permet de montrer, sous certaines conditions, l’existence (et l’unicité) de solutions d’une équation du type . La détermination d’un encadrement de l’une de ces solutions peut faire l’objet d’un algorithme ou nécessiter l’utilisation de la calculatrice.

 

 

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Géométrie dans l’espace, représentations paramétriques et équations cartésiennes de droites et de plans

Il est important de bien connaître ce qui concerne les positions relatives de droites et de plans et les intersections possibles, de faire le lien avec le calcul vectoriel (vecteurs directeurs d’un plan, d’une droite, produit scalaire, vecteur normal à un plan) et de savoir traduire les résultats à l’aide de coordonnées de points et d’équations.

 

Nombres complexes

Savoir calculer avec les nombres complexes, résoudre une équation du second degré à coefficients réels, interpréter graphiquement les notions et propriétés : complexes conjugués, module et argument et leurs propriétés…

 

 

PROBABILITÉS ET STATISTIQUES

Probabilités conditionnelles ; indépendance

Le plus important (et parfois le plus difficile) est de savoir traduire en termes de probabilités les données de l’énoncé. Les probabilités conditionnelles sont souvent associées à la construction d’un arbre pondéré. Éviter les confusions : probabilité conditionnelle/probabilité de l’intersection de deux événements ; événements indépendants/événements incompatibles.

 

Lois normales

Les probabilités associées à une variable aléatoire suivant une loi normale sont généralement déterminées avec la calculatrice, il est donc nécessaire de bien connaître l’utilisation de sa calculatrice.

 

 

ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ

Arithmétique : divisibilité, PGCD, théorèmes de Bézout et Gauss, nombres premiers

Il faut savoir traduire de différentes manières les relations entre deux nombres entiers, à l’aide des notions de multiples et diviseurs, et à partir de la division euclidienne et de la relation de congruence. Ces notions peuvent être utilisées par exemple dans des problèmes de codage, de chiffrement…

 

Opérations sur les matrices, inverse d’une matrice

Pour les opérations sur les matrices et la détermination de l’inverse, on utilise généralement la calculatrice ; il est donc important d’en connaître les fonctionnalités.

 

Puissances d’une matrice, étude asymptotique

Il s’agit d’étudier des phénomènes (évolution de populations, marches aléatoires, pertinence de pages web…) modélisés par des puissances de matrices. Les premières questions ont parfois pour objectif de calculer une puissance d’une matrice donnée ; une démonstration par récurrence est alors souvent attendue.

 

 

Autres thèmes possibles au bac S 

 

Les exercices de bac font fréquemment intervenir plusieurs thèmes du programme de terminale, et même du programme de première.

Les thèmes suivants ne doivent pas être laissés de côté. Ils peuvent intervenir dans un exercice, même s’ils n’en font pas l’objet principal ; leur connaissance peut également être préalable à l’étude d’autres notions.

 

Primitives et intégrales

La plupart des calculs (intégrale, aire d’un domaine, valeur moyenne d’une fonction) utilisent la notion de primitive. Il est quelquefois demandé de donner, par lecture graphique, un encadrement du résultat. Dans chaque cas, il faut bien vérifier que les conditions de validité sont remplies.

 

Variables aléatoires ; loi binomiale

Les variables aléatoires et la notion d’espérance ont été définies en première.

La loi binomiale a également été étudiée en première, mais elle fait souvent l’objet d’une question dans les exercices de probabilités du bac. Elle correspond à une situation de répétitions d’épreuves à deux issues, identiques et indépendantes, où l’on compte le nombre de « succès ».

 

Lois exponentielles

Lorsqu’un phénomène peut être modélisé par une variable aléatoire suivant une telle loi, cela est indiqué explicitement dans l’énoncé. Ne pas oublier le fait qu’une loi exponentielle est une loi « de durée de vie sans vieillissement ».

 

Lois normales ; échantillonnage et estimation

À partir d’une variable aléatoire suivant une loi normale, on peut déterminer un intervalle de fluctuation à 95 %, qui permet une prise de décision sur la validité ou la non-validité d’un modèle, ou un intervalle de confiance au seuil de confiance de 95 % pour une proportion.

 

Arithmétique (spécialité) : équations diophantiennes

La résolution d’une équation diophantienne suit un « schéma » classique ; elle fait appel à plusieurs résultats d’arithmétique (PGCD, théorèmes de Bézout et de Gauss…).

La partie « réciproque » ne doit pas être oubliée.

 

 

Des sujets pour s’entraîner

 

<  Fonction exponentielle, fonction logarithme népérien, calcul intégral

https://www.annabac.com/content/sujet-complet-d-amerique-du-nord-2015-1

(Amérique du Nord juin 2015 – exercice 4)

Étude des variations d’une fonction à partir de l’étude du signe d’une fonction auxiliaire, recherche des points communs à sa courbe représentative et à la courbe représentative de la fonction ln, calcul d’une intégrale.

 

< Suites et algorithmes

https://www.annabac.com/content/sujet-complet-de-polynesie-francaise-2015

(Polynésie juin 2015 – exercice 5 non spécialité)

L’objectif de cet exercice est l’étude de la somme des premiers termes d’une suite définie par une relation de récurrence où intervient la fonction ln. Des conjectures sont émises à partir du résultat affiché par un algorithme.

 

< Nombres complexes

https://www.annabac.com/content/sujet-complet-de-france-metropolitaine-2015-1

(France métropolitaine juin 2015 – exercice 3 non spécialité)

Exercice classique sur les nombres complexes : résolution d’une équation du second degré à coefficients réels, module et argument, forme exponentielle, utilisation des nombres complexes en géométrie.

 

< Géométrie dans l’espace et algorithmes

https://www.annabac.com/content/sujet-complet-de-pondichery-2015-1

(Pondichéry avril 2015 – exercice 4 non spécialité)

L’objectif est le calcul du volume d’un tétraèdre défini à partir d’un cube. Le calcul nécessite, entre autres, la détermination d’une équation cartésienne d’un plan et d’une représentation paramétrique d’une droite, afin de trouver les coordonnées de leur point d’intersection.

 

<  Probabilités conditionnelles

https://www.annabac.com/content/sujet-complet-d-afrique-2015-0

(Centres étrangers juin 2015 – exercice 1)

Dans la partie A, un intervalle de fluctuation et un intervalle de confiance doivent être déterminés et utilisés.

Les probabilités conditionnelles apparaissent dans la partie C. Il s’agit d’étudier, dans une production de cadenas, le lien entre « le cadenas est haut de gamme » et « le cadenas est défectueux ».

 

<  Probabilités ; loi exponentielle, loi normale

https://www.annabac.com/content/sujet-complet-de-france-metropolitaine-2015-1

(France métropolitaine juin 2015 – exercice 1)

Étude théorique de variables aléatoires suivant une loi exponentielle et une loi normale. Répartition de la distribution de bons d’achat dans la clientèle d’un magasin et intervalle de fluctuation.

 

< Spécialité : arithmétique

https://www.annabac.com/content/sujet-complet-de-pondichery-2015-1

(Pondichéry avril 2015 – exercice 4 spécialité)

Étude de certaines propriétés des nombres de Mersenne, c’est-à-dire des nombres de la forme ,  entier naturel non nul ; divisibilité par certains entiers.

 

< Spécialité : puissances de matrices

https://www.annabac.com/content/sujet-complet-du-liban-2015-0

(Liban mai 2015 – exercice 4 spécialité)

Utilisation de puissances de matrices pour la modélisation de la probabilité de « réussite » d’un fumeur ayant décidé d’arrêter de fumer ; utilisation d’un tableur.

 

< Exercice avec prise d’initiative

https://www.annabac.com/content/sujet-complet-du-liban-2015-0

(Liban mai 2015 – exercice 3)

Étude du nombre de points d’intersection de la courbe représentative de la fonction exponentielle et d’une droite  passant par l’origine du repère, suivant le coefficient directeur de la droite . Différents raisonnements sont envisageables.