L’épreuve de spécialité en Maths Tle générale : pronostics Bac 2024
Si vous habitez en France métropolitaine, c’est le 19 et le 20 juin 2024 que vous passerez vos épreuves de spécialité, dont celle de Maths. Et d’ores et déjà, vous vous interrogez : quels thèmes pourraient tomber cette année ?
Quels sont les thèmes au programme de l’épreuve écrite de Maths pour le Bac 2024 ?
Notez que, du fait du report de l’épreuve écrite au mois de juin, tous les thèmes du programme de l’enseignement de spécialité peuvent désormais faire l’objet d’une question dans un exercice de bac. Les voici :
n Algèbre et géométrie
• Combinatoire et dénombrement
• Manipulation des vecteurs, des droites et des plans de l'espace
• Orthogonalité et distances dans l'espace
• Représentations paramétriques et équations cartésiennes
n Analyse
• Suites
• Limites des fonctions
• Compléments sur la dérivation
• Continuité des fonctions d'une variable réelle
• Fonction logarithme
• Fonctions sinus et cosinus
• Primitives, équations différentielles
• Calcul intégral
n Probabilités
• Succession d'épreuves indépendantes, schéma de Bernoulli
• Sommes de variables aléatoires
• Concentration, loi des grands nombres
n Algorithmique et programmation
Quels seront les thèmes les plus probablement évalués ? Comment prioriser ses révisions ?
Pour l’épreuve écrite, certains chapitres, qui « tombent » plus souvent que d’autres, peuvent être privilégiés ; ils doivent être étudiés de manière approfondie. Ces chapitres sont indiqués ci-dessous, avec quelques précisions.
n Géométrie dans l’espace : vecteurs, droites et plans ; orthogonalité et distances ; représentations paramétriques et équations cartésiennes
• Il faut impérativement connaître les positions relatives possibles de droites et de plans de l’espace, et les intersections associées.
• Il est important de savoir faire le lien avec le calcul vectoriel, similaire au calcul vectoriel dans le plan (vecteurs directeurs d’un plan, d’une droite, produit scalaire, vecteur normal à un plan), et de savoir traduire les résultats à l’aide de coordonnées de points, de représentations paramétriques de droites, d’équations cartésiennes de plans dans un repère éventuellement orthonormé. Cela permet notamment d’établir un lien avec les calculs algébriques dans l’ensemble des nombres réels.
Exemples de sujets corrigés
• Hauteurs d’un tétraèdre
https://www.annabac.com/annales-bac/hauteurs-d-un-tetraedre
L’objectif de l’exercice est l’étude des hauteurs d’un tétraèdre.
La partie A est l’étude de cas particuliers. Dans la partie B, on s’intéresse aux tétraèdres orthocentriques, c’est-à-dire aux tétraèdres dont les quatre hauteurs sont concourantes. Enfin la partie C est une application des résultats précédents à un tétraèdre dont les coordonnées des sommets sont données.
• Projeté orthogonal d’un point de l’espace sur une droite
https://www.annabac.com/annales-bac/projete-orthogonal-d-un-point-de-l-espace-sur-une-droite
Dans cet exercice, l’espace est muni d’un repère orthonormé. Il s’agit ensuite de déterminer de deux manières différentes les coordonnées du projeté orthogonal H d’un point de coordonnées données sur une droite dont on connaît une représentation paramétrique. L’objectif est d’en déduire l’aire d’un triangle dont l’un des sommets est le point H.
n Suites
• Les suites permettent de modéliser des phénomènes d’évolution de type discret. Les résultats du cours doivent être parfaitement connus, y compris ceux vus en première (sur les suites arithmétiques et géométriques par exemple).
• L’objectif est souvent d’étudier la convergence et de déterminer la limite de la suite ; on peut alors utiliser le « théorème de convergence monotone », les théorèmes de comparaison comme le « théorème des gendarmes », ou les résultats sur limites et opérations.
• Notez que les exercices sur les suites comportent souvent une question autour d’un algorithme, par exemple un algorithme de seuil dont l’objectif est de trouver le plus petit entier à partir duquel tous les termes de la suite vérifient une condition donnée.
Exemples de sujets corrigés
• Etude d’une suite définie par récurrence à l’aide d’une suite géométrique
La première question de cet exercice est la formulation d’une conjecture sur le sens de variation d’une suite. Dans la deuxième question, l’expression du terme général de cette suite à partir de celui d’une suite géométrique permet de déterminer la limite de la suite initiale et d’étudier la somme de ses premiers termes.
• Mise en place du télétravail et satisfaction des collaborateurs
https://www.annabac.com/annales-bac/mise-en-place-du-teletravail-et-satisfaction-des-collaborateurs
Dans cet exercice, on considère deux suites : l’une modélise le nombre de collaborateurs d’une entreprise qui ont choisi le télétravail, l’autre le nombre de collaborateurs satisfaits par ce dispositif. La première suite est une suite arithmético-géométrique étudiée à l’aide d’une suite auxiliaire, la deuxième est définie par une relation de récurrence faisant intervenir une fonction.
n Fonction exponentielle, fonction logarithme népérien
• Dans la plupart des sujets, on trouve un exercice autour de l’étude d’une fonction, qui comporte presque toujours une exponentielle (vue en première) ou un logarithme. Cette fonction modélise fréquemment l’évolution d’une grandeur issue d’une autre discipline.
• Toutes les conclusions (limites, signe de la dérivée, variations, convexité) doivent être rigoureusement justifiées.
• L’étude de la fonction peut être précédée de celle d’une fonction « auxiliaire », ou de conjectures émises par lecture graphique.
• Dans ces situations, il est important, pour bien comprendre l’objectif, de lire tout l’énoncé de l’exercice avant de commencer la résolution.
Exemples de sujets corrigés
• Évolution de la température d’une baguette
https://www.annabac.com/annales-bac/evolution-de-la-temperature-d-une-baguette
Dans cet exercice, une fonction comportant une exponentielle modélise la diminution de la température d’une baguette à partir de sa sortie du four. On vérifie, entre autres par lecture graphique, la conformité du modèle à la situation réelle.
• Étude numérique et graphique d’une fonction comportant une exponentielle
Les premières questions de cet exercice concernent l’étude des variations et des limites d’une fonction. Puis il s’agit de résoudre un problème portant sur les tangentes à la courbe représentative de cette fonction.
• Étude d’une fonction comportant un logarithme
https://www.annabac.com/annales-bac/etude-d-une-fonction-comportant-un-logarithme
Dans cet exercice, on donne l’expression d’une fonction comportant un logarithme. Il est demandé de dresser, par le calcul, le tableau de variations complet de la fonction, avec les limites aux bornes de l’intervalle de définition. Il faut ensuite étudier la convexité et montrer que la courbe admet un point d’inflexion.
• QCM sur les fonctions et les suites : 6 questions
https://www.annabac.com/annales-bac/qcm-sur-les-fonctions-et-les-suites-6-questions
Dans ce questionnaire à choix multiples, quatre réponses sont proposées pour chaque question. Les trois premières questions portent sur des propriétés d’une fonction déduites de sa courbe représentative qui est donnée. Les trois suivantes concernent les propriétés de suites dont les termes vérifient des inégalités.
n Continuité et théorème des valeurs intermédiaires
• Le théorème des valeurs intermédiaires permet de montrer, sous certaines conditions (à vérifier rigoureusement), l’existence (et souvent l’unicité), sur un intervalle donné, de solutions d’une équation du type .
• La détermination d’un encadrement d’une solution peut faire l’objet d’un algorithme et/ou nécessiter l’utilisation de la calculatrice.
n Calcul intégral
Toutes les propriétés des intégrales doivent être connues ; elles sont souvent liées à des propriétés de la fonction « sous l’intégrale ». Il faut aussi maîtriser les méthodes de calcul des intégrales, y compris la méthode d’intégration par parties.
n Probabilités : succession d’épreuves indépendantes, schéma de Bernoulli
• Les exercices de probabilités de l’épreuve écrite comportent très souvent une première partie portant sur les probabilités conditionnelles. Cette notion est étudiée en première ; elle doit donc être retravaillée en terminale, avec l’utilisation d’arbres pondérés.
• Le chapitre de Tle « Succession d’épreuves indépendantes ; schéma de Bernoulli » est la suite de l’étude commencée en classe de première. Il conduit à la définition et à l’étude de la loi binomiale. Il est important, dans une situation donnée, de savoir justifier de manière précise qu’une certaine variable aléatoire suit une loi binomiale, et d’être capable d’en calculer et d’en interpréter les paramètres (espérance et variance).
Exemples de sujets corrigés
• Le test est-il efficace ?
https://www.annabac.com/annales-bac/le-test-est-il-efficace
L’objectif de cet exercice est l’étude d’un test de contrôle appliqué à une production de pièces mécaniques. Dans la première partie, on précise, à l’aide de probabilités conditionnelles, les relations entre le résultat du test et le fait qu’une pièce soit défectueuse ou non. Dans la deuxième partie, on considère, à partir de la situation précédente, une variable aléatoire qui suit une loi binomiale.
• Propagation d’un virus
https://www.annabac.com/annales-bac/propagation-d-un-virus-0
Cet exercice utilise les probabilités conditionnelles et les suites pour étudier un modèle de propagation d’un virus dans une population, semaine après semaine. Les données probabilistes sont traduites en termes de suites, ces suites sont étudiées, entre autres, à l’aide d’un tableur et de suites géométriques, ce qui permet de prévoir l’évolution à long terme de l’épidémie.
Quels sont les thèmes moins probables ?
Les quelques thèmes suivants sont moins centraux mais ne doivent pas être laissés de côté. Ils peuvent intervenir dans un exercice, même s’ils n’en font pas l’objet principal.
n Combinatoire et dénombrement
Il est important de savoir, dans une situation donnée, identifier le ou les objet(s) mathématique(s) qui la modélise(nt) : k-uplets, k-uplets d’éléments distincts, permutations, combinaisons ; cela permet d’utiliser ensuite la formule adaptée pour dénombrer ces objets.
n Géométrie dans l’espace : projeté orthogonal d’un point sur une droite, sur un plan
Il faut connaître la définition de ces deux types de projetés orthogonaux, et savoir, dans l’espace muni d’un repère orthonormé, calculer les coordonnées du projeté orthogonal d’un point sur une droite ou sur un plan. Cela permet, entre autres, de déterminer la distance d’un point à un plan ou d’un point à une droite.
n Composée de deux fonctions
• Il faut savoir déterminer l’expression algébrique de la fonction composée de deux fonctions données, ainsi que la dérivée de cette composée.
• Il peut aussi être utile de savoir considérer une fonction comme la composée de deux fonctions usuelles ; cela peut permettre dans certains cas la détermination de limites.
n Convexité
• La notion de convexité peut être introduite et étudiée de plusieurs manières : graphiquement, à partir des variations de la dérivée, ou bien encore en étudiant le signe de la dérivée seconde. Cela donne l’occasion de raisonner en diversifiant les registres, et peut permettre d’établir des inégalités.
• Il faut également connaître la notion de point d’inflexion, point en lequel on observe un changement de convexité, et être capable de déterminer par le calcul ou de lire graphiquement les coordonnées des éventuels points d’inflexion à la courbe représentative d’une fonction.
n Primitives, équations différentielles
• Il faut connaître la définition d’une primitive d’une fonction, ainsi que les primitives des fonctions usuelles et les propriétés.
• Il faut aussi maîtriser la résolution d’équations différentielles de la forme ou .
n Probabilités : sommes de variables aléatoires
Quelques résultats sont à connaître, en particulier dans le cas de variables aléatoires indépendantes et sur les échantillons de taille n d’une loi de probabilité.
n Probabilités : concentration, loi des grands nombres
Dans cette partie, les résultats à retenir sont essentiellement l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev, l’inégalité de concentration qui en découle et le principe de la loi des grands nombres.