Milieu et parallélogramme

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Classe(s) : 2de | Thème(s) : Coordonnées d'un point du plan. Vecteurs

Milieu et parallélogramme

Le plan est muni d'un repère orthonormé (0,I,J).

Soient \text{C}\left(-~3~;~4\right), \text{D}\left(4~;~2\right) et \text{E}\left(1~;~-~2\right). Les coordonnées du point F tel que CDEF soit un parallélogramme sont :

  • a. \left(-2~;~2\right)
  • b. \left(4~;~-6\right)
  • c. \left(-6~;~0\right)
 Réponse 

Réponse c.

CDEF est un parallélogramme si et seulement si [CE] et [DF] ont le même milieu. Par passage aux coordonnées :

\begin{array}{lll}\frac{{x}_{\text{C}}+{x}_{\text{E}}}{2}=\frac{{x}_{\text{D}}+{x}_{\text{F}}}{2}&\text{}&\iff \frac{-~3+1}{2}=\frac{4+{x}_{\text{F}}}{2}\\ &\text{}&\iff -~2=4+{x}_{\text{F}}\iff -~6={x}_{\text{F}}\\ \frac{{y}_{\text{C}}+{y}_{\text{E}}}{2}=\frac{{y}_{\text{D}}+{y}_{\text{F}}}{2}&\text{}&\iff \frac{4+\left(-~2\right)}{2}=\frac{2+{y}_{\text{F}}}{2}\\ &\text{}&\iff 2=2+{y}_{\text{F}}\iff 0={y}_{\text{F}}.\end{array}