Orthogonalité et produit scalaire

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Classe(s) : Tle Générale | Thème(s) : Orthogonalité et distances dans l’espace

Orthogonalité et produit scalaire

Les droites et Δ admettent respectivement pb_bac_06468_matht_gene_03_qz04_eqn001(2 ; −1 ; 3) et pb_bac_06468_matht_gene_03_qz04_eqn002(2 ; −5 ; −3) pour vecteurs directeurs et les plans et Qadmettent respectivement pour vecteurs normaux pb_bac_06468_matht_gene_03_qz04_eqn003(−2 ; 1 ; −3) et pb_bac_06468_matht_gene_03_qz04_eqn004(2 ; −1 ; 3).

Parmi les affirmations suivantes, lesquelles sont vraies ?

  • a. Les droites et pb_bac_06468_matht_gene_03_qz04_eqn005 sont orthogonales.
  • b. La droite et le plan sont perpendiculaires.
  • c. Les plans et Q sont perpendiculaires.
 Réponse(s) 

La réponse a. est correcte. Les droites et Δ admettent respectivement pb_bac_06468_matht_gene_03_qz04_eqn006(2 ; −1 ; 3) et pb_bac_06468_matht_gene_03_qz04_eqn007(2 ; −5 ; −3) pour vecteur directeur.

pb_bac_06468_matht_gene_03_qz04_eqn008, donc pb_bac_06468_matht_gene_03_qz04_eqn009 Δ.

La réponse b. est correcte. La droite admet le vecteur pb_bac_06468_matht_gene_03_qz04_eqn010(2 ; −1 ; 3) pour vecteur directeur et le plan admet pour vecteur normal le vecteur pb_bac_06468_matht_gene_03_qz04_eqn011(−2 ; 1 ; −3).

Or pb_bac_06468_matht_gene_03_qz04_eqn012, donc les vecteurs pb_bac_06468_matht_gene_03_qz04_eqn013 et pb_bac_06468_matht_gene_03_qz04_eqn014 sont colinéaires et par conséquent la droite et le plan sont perpendiculaires.

L'affirmation c. est fausse. Les plans et Q admettent respectivement pour vecteur normal pb_bac_06468_matht_gene_03_qz04_eqn015(−2 ; 1 ; −3) et pb_bac_06468_matht_gene_03_qz04_eqn016(2 ; −1 ; 3).

pb_bac_06468_matht_gene_03_qz04_eqn017 donc les vecteurs pb_bac_06468_matht_gene_03_qz04_eqn018 et pb_bac_06468_matht_gene_03_qz04_eqn019 ne sont pas orthogonaux.

Les plans et Q ne sont donc pas perpendiculaires.