Validation ou réfutation d'une conjecture (II)

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Classe(s) : 3e | Thème(s) : Utiliser le calcul littéral

Validation ou réfutation d'une conjecture (II)

Romain émet la conjecture suivante : la somme de sept nombres entiers positifs et consécutifs est un multiple de 7. Que penser de la conjecture de Romain ?

  • a. Romain a tort.
  • b. Cela arrive parfois.
  • c. Romain a raison.
 Réponse 

Soit n un nombre entier supérieur ou égal à 4.

Alors n-3,\text{\:}n-2,\text{\:}n-1,\text{\:}n,\text{\:}n+1,\text{\:}n+2,\text{\:}n+3 représentent 7 nombres entiers consécutifs et positifs.

Calculons leur somme S :

S=\left(n-3\right)+\left(n-2\right)+\left(n-1\right)+n+\left(n+1\right)+\left(n+2\right)+\left(n+3\right)

En développant puis simplifiant cette expression, on trouve S=7n.

Puisque n est un nombre entier positif, alors S est un multiple de 7.

La conjecture est donc validée.