Aborder les équations de droites

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Fiches
Classe(s) : 2de | Thème(s) : Equations de droites


Rappels de cours

Le plan est muni d’un repère.

1 Droite parallèle à l’axe des ordonnées

 Toute droite parallèle à l’axe des ordonnées admet une équation de la forme x=c (c un réel à déterminer).

 L’ensemble des points M(x;y) du plan dont les coordonnées vérifient une équation de la forme x=c (c un réel donné) est une droite parallèle à l’axe des ordonnées .

2 Droite non parallèle à l’axe des ordonnées

 Toute droite non parallèle à l’axe des ordonnées admet une équation de la forme y=ax+b (a et b deux réels à déterminer).

 Soient A(xA;yA) et B(xB;yB) deux points distincts (xAxB) d’une droite d’équation y=ax+b.

Le coefficient directeur a est donné par :

a=yByAxBxA

L’ordonnée à l’origine b est donnée par b=yAa×xA oub=yBa×xB .

Cas particulier : si A et B ont la même ordonnée (yA=yB) alors a est nul et b est égal à yA et yB. La droite est parallèle à l’axe des abscisses.

à noter ! y=ax+b s’appelle l’équation réduite de la droite.

 L’ensemble des points M(x;y) du plan dont les coordonnées vérifient une équation de la forme y=ax+b (a et b des réels donnés) est une droite non parallèle à l’axe des ordonnées .

Méthodes

Déterminer algébriquement une équation de droite

Soit A(1;4), B(1;7), C(12;4), D(3;4), E(1;5) et F(2;17). Déterminer une équation des droites (AB), (CD) et (EF).

Conseils

Justifiez dans un premier temps la forme de l’équation de la droite étudiée. Déterminez le(s) paramètre(s) intervenant dans cette équation.

 

Solution

Comme A et B ont la même abscisse (xA=xB=1), (AB) est parallèle à l’axe des ordonnées et a pour équation x=1.

Comme xCxD, (CD) n’est pas parallèle à l’axe des ordonnées. Elle admet une équation de la forme y=ax+b. Comme yC=yD, le coefficient directeur de (CD) est nul et l’ordonnée à l’origine est égale à – 4. (CD) a pour équation y=4.

De même, la droite (EF) n’est pas parallèle à l’axe des ordonnées et admet une équation de la forme y=ax+b avec :

a=yFyExFxE=4 et b=yFa×xF=9.

(EF) a ainsi pour équation y=4x9.

Déterminer graphiquement une équation de droite

02909_F26_01

Déterminer une équation des droites D1, D2 et D3.

Conseils

Justifiez la forme de l’équation de la droite étudiée. Lisez le(s) paramètre(s) intervenant dans cette équation.

 

Solution

D2 est parallèle à l’axe des ordonnées et est constituée de tous les points qui ont une abscisse égale à 4. Ainsi, D2 : x=4.

D1 et D3 ne sont pas parallèles à l’axe des ordonnées. Elles admettent alors chacune une équation de la forme y=ax+b.

D1 est parallèle à l’axe des abscisses (a=0) et est constituée de tous les points qui ont une ordonnée égale à – 2. D1 : y=2.

02909_F26_02

D3 passe par le point J d’abscisse 0 et d’ordonnée 1, son ordonnée à l’origine est alors égale à 1.

Pour les deux points choisis sur cette droite, la différence des abscisses est +1 et celle des ordonnées – 3 : le coefficient directeur est alors 3+1=3. Ainsi, D3: y=3x+1.