Aborder les variations de fonctions

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Fiches
Classe(s) : 2de | Thème(s) : Fonctions de référence. Etudes de fonctions


Rappels de cours

Soit f une fonction définie sur un intervalle I, de courbe représentative Cf dans un repère du plan.

1 Variations de fonctions

02909_F10_01

► f est strictement croissante sur I si, pour tous réels a et b de I :

a<bimpliquef(a)<f(b)

Autrement dit :

si x augmente, f(x) augmente ;

Cf « monte » ;

la fonction f conserve l’ordre.

02909_F10_02

► f est strictement décroissante sur I si, pour tous réels a et b de I :

a<bimpliquef(a)>f(b)

Autrement dit :

si x augmente, f(x) diminue ;

Cf « descend » ;

la fonction f change l’ordre.

à noter ! Si l’inégalité a<b implique l’inégalité large f(a)f(b) (ou f(a)f(b)), on dit que f est croissante sur I (ou décroissante sur I).

exemple Soit f(x)=2x+3 x. Soit a et b dans avec a<b.

a<b2a<2b2a+3<2b+3

soit f(a)<f(b).

f est donc strictement croissante sur .

2 Tableau de variations

Un tableau de variations indique les plus grands intervalles sur lesquels f est strictement croissante (flèche montante), est strictement décroissante (flèche descendante).

Il indique aussi des valeurs remarquables de f.

exemple

02909_F10_03

f est une fonction définie sur [0;4] de courbe Cf.

02909_F10_tab_01

Méthodes

Associer une courbe à un tableau de variations

02909_F10_tab_02

On donne ci-contre le tableau de variations d’une fonction g.

Tracer une courbe représentative possible pour g.

Conseils

Veillez à bien respecter les valeurs indiquées dans le tableau.

 

Solution

02909_F10_04

Étudier les variations d’une fonction

Soit g la fonction définie sur par g(x)=x22x.

Démontrer que g est strictement croissante sur I=[1;+[.

Conseils

Étudiez le signe de la différence g(b)g(a) lorsque 1a<b.

 

Solution

Soit a[1;+[ et b[1;+[ avec a<b. On a ainsi 1a<b.

g(b)g(a)=b22ba2+2a=b2a22(ba)                   =(ba)(b+a)2(ba)=(ba)(b+a2).

Comme ba>0 et b+a2>a+a22(a1)0,

alors g(b)g(a)>0 soit g(a)<g(b).

La fonction g est donc strictement croissante sur I=[1;+[.