Agrandir et réduire des figures : homothétie

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Fiches
Classe(s) : 3e | Thème(s) : Utiliser la géométrie plane pour démontrer


Rappels de cours

1 Image d’un point par une homothétie

Le point B est l’image du point A par l’homothétie de centre O et de rapport k (où k est un nombre strictement positif) si :

les points O, A et B sont alignés ;

le point O n’est pas situé sur le segment [AB] ;

 OB=k×OA.

exemple Sur la figure ci-dessous, B est l’image de A par l’homothétie de centre O et de rapport k=3.

02905_Figure_51_01

2 Transformer une figure par une homothétie

Transformer une figure par une homothétie, c’est l’agrandir ou la réduire.

exemple Sur le schéma ci-dessous, les points O, A, A, les points O, B, B et les points O, C, C sont alignés.

02905_Figure_51_02

Le triangle ABC est l’image du triangle ABC par l’homothétie de centre O et de rapport 2 : on a un agrandissement.

Le triangle ABC est l’image du triangle ABC par l’homothétie de centre O et de rapport 12 : on a une réduction.

On a donc : OA′ OA=OB′ OB=OC′ OC=2 et OAOA′ =OBOB′ =OCOC′ =12.

3 Homothétie, proportionnalité et théorème de Thalès

La transformation d’un triangle par une homothétie traduit aussi une configuration de Thalès.

En considérant la seconde figure de la page précédente, on peut remarquer que :

les côtés des triangles ABC et ABC sont proportionnels ;

leurs angles homologues sont égaux.

On dit que les triangles ABC et ABC sont semblables.

4 Propriétés de conservation de l’homothétie

L’homothétie conserve les angles, l’alignement, le parallélisme et la perpendicularité.

exemple Par une homothétie, l’image d’une droite est une droite qui lui est parallèle.

Méthode

Construire l’image d’un segment par une homothétie

02905_Figure_51_03

Sur le schéma ci-contre, le segment [AB] mesure 2 cm.

a. Reproduire le schéma en vraie grandeur sur une feuille quadrillée, puis construire l’image [AB] du segment [AB] par l’homothétie de centre O et de rapport 1,5.

b. Combien mesure la distance AB ?

conseils

a. Mesurez avec une règle graduée, les distances OA et OB.

 

Solution

02905_Figure_51_04

a. Sur le schéma, on mesure OA = 2,2 cm et OB = 1,6 cm.

Les points O, A et A sont alignés et OA′ =1,5×OA, soit OA′ =3,3cm.

Les points O, B et B sont alignés et OB′ =1,5×OB, soit OB′ =2,4cm.

b. Le segment [AB] est un agrandissement du segment [AB].

On a : A′ B′ =1,5×AB =1,5×2, soit A′ B′ =3cm.