Ajustement affine

A Ajustement affine par une méthode graphique

EXEMPLE

On reprend le nuage de points de l'exemple du paragraphe ➀ A. On se propose de faire des prévisions pour le nombre d'habitants de la ville nouvelle à partir des données relevées entre 1992 et 2022.

Un moyen d'y parvenir est de tracer « au jugé » une droite D passant le plus près possible des points du nuage et d'admettre que les nombres d'habitants y_i et les rangs de l'année x_i sont liés par l'équation y = ax + b de D.

On peut, par exemple, prendre pour droite D la droite passant par le point moyen G et par le point A(5, 21). Une équation de cette droite est y = 1,1x + 15,5. La droite D est tracée sur la figure au ➀ B.

En remplaçant x par 35 dans l'équation de D, on obtient y = 54. On peut estimer à 54 000 le nombre d'habitants en 1992 + 35 = 2027.

B Ajustement affine par la méthode des moindres carrés

EXEMPLE

Une entreprise fabriquant du matériel médical s'intéresse au lien entre ses dépenses publicitaires et son chiffre d'affaires : elle recueille les données suivantes, exprimées en millions d'euros, ­portant sur cinq périodes où les dépenses publicitaires sont notées x₁, x₂, …, x₅ et les chiffres d'affaires y₁, y₂, …, y₅.

Représentons ces données par cinq points M_i dans un repère où des dépenses publicitaires x_i sont en abscisses et les chiffres d'affaires y_i en ordonnées. Le point moyen du nuage est G(3,1 ; 65,8).

La méthode des moindres carrés consiste à prendre pour droite d'ajustement du nuage de points une droite
telle que la somme des carrés P₁M₁² + … + P₅M₅² soit minimale.

Une équation de la droite , aussi appelée droite de régression de y en x s'obtient directement avec une calculatrice ou un tableur. En arrondissant les coefficients à 10^–3, on obtient dans cet exemple y = 12,768x + 26,219.

C Déterminer une équation de la droite de régression à l'aide d'une calculatrice

EXEMPLE

Le tableau ci-dessous donne le chiffre d'affaires du e-commerce en France entre 2011 et 2017. Il s'exprime en milliard d'euros et est arrondi au dixième.

On souhaite utiliser une calculatrice pour ajuster le nuage des points de coordonnées (x_i, y_i) à l'aide d'une droite d'équation y = ax + b, puis exploiter cette équation pour effectuer une prévision.

Procédure sur une calculatrice CASIO

Se placer dans le menu . Effacer le contenu des listes par . Entrer les valeurs x_i en List 1 et les valeurs y_i en List 2. Régler les colonnes pour le calcul par puis 2Var X List : List 1 ; 2Var Y List : List 2 ; 2 Var Freq : 1 ; .

Afficher les résultats de la « régression linéaire » (ajustement affine) par .

Procédure sur une calculatrice TI

Se placer dans le menu de statistique par la touche . Effacer les listes par 4 : EffListe L₁, L₂ (les noms des listes L₁ et L₂ sont au clavier). Entrer les données par 1 : Modifier… puis saisir les x_i en L₁ et les y_i en L₂.

Afficher les résultats de la « régression linéaire » (ajustement affine) par CALC 4 :RegLin(ax+b) Xliste : L₁ , Yliste : L₂ .

Procédure sur une calculatrice NumWorks

Se placer dans l'application . Pour effacer des données, se placer dans l'onglet , sélectionner le nom d'une colonne, faire puis .

Sous l'onglet , entrer les valeurs dans les colonnes et .

Sélectionner l'onglet pour afficher les calculs statistiques.