Ajustement affine

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Fiches
Classe(s) : Tle ST2S - Tle STI2D - Tle STL - Tle STMG | Thème(s) : Séries statistiques à deux variables
 

A Ajustement affine par une méthode graphique

EXEMPLE

On reprend le nuage de points de l’exemple du paragraphe ➀ A. On se propose de faire des prévisions pour le nombre d’habitants de la ville nouvelle à partir des données relevées entre 1990 et 2020.

Un moyen d’y parvenir est de tracer « au jugé » une droite
passant le plus près possible des points du nuage et d’admettre que les nombres d’habitants yi et les rangs de l’année xi sont liés par l’équation yaxb de
.

On peut, par exemple, prendre pour droite
la droite passant par le point moyen G et par le point A(5, 21). Une équation de cette droite est y = 1,1x + 15,5. La droite
est tracée sur la figure au ➀ B.

En remplaçant x par 35 dans l’équation de
, on obtient y = 54. On peut estimer à 54 000 le nombre d’habitants en 1990 + 35 = 2025.

On peut choisir une autre droite...

B Ajustement affine par la méthode des moindres carrés

EXEMPLE

Une entreprise fabriquant du matériel médical s’intéresse au lien entre ses dépenses publicitaires et son chiffre d’affaires : elle recueille les données suivantes, exprimées en millions d’euros, ­portant sur cinq périodes où les dépenses publicitaires sont notées x1, x2, …, x5 et les chiffres d’affaires y1, y2, …, y5.

Tableau de 2 lignes, 6 colonnes ;Corps du tableau de 2 lignes ;Ligne 1 : Dépenses publicitaires : xi; 0,5; 2,0; 2,9; 4,5; 5,6; Ligne 2 : Chiffre d’affaires : yi; 35; 37; 75; 92; 90;

Représentons ces données par cinq points Mi dans un repère où des dépenses publicitaires xi sont en abscisses et les chiffres d’affaires yi en ordonnées. Le point moyen du nuage est G(3,1 ; 65,8).

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Vérifiez-le !

La méthode des moindres carrés consiste à prendre pour droite d’ajustement du nuage de points une droite
telle que la somme des carrés P1M12 + … + P5M52 soit minimale.

D’où le nom : « moindres carrés ».

Une équation de la droite , aussi appelée droite de régression de y en x s’obtient directement avec une calculatrice ou un tableur. En arrondissant les coefficients à 10–3, on obtient dans cet exemple y = 12,768x + 26,219.

C Déterminer une équation de la droite de régression à l’aide d’une calculatrice

EXEMPLE

Le tableau ci-dessous donne le chiffre d’affaires du e-commerce en France entre 2011 et 2017. Il s’exprime en milliard d’euros et est arrondi au dixième.

Tableau de 3 lignes, 8 colonnes ;Corps du tableau de 3 lignes ;Ligne 1 : Année; 2011; 2012; 2013; 2014; 2015; 2016; 2017; Ligne 2 : Rang de l’année : xi; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; Ligne 3 : Chiffre d’affaires du e-commerce (en milliard d’euros) : yi; 36,5; 43,6; 49,5; 55,0; 62,9; 71,5; 81,7;

On souhaite utiliser une calculatrice pour ajuster le nuage des points de coordonnées (xiyi) à l’aide d’une droite d’équation y = axb, puis exploiter cette équation pour effectuer une prévision.

Procédure sur une calculatrice CASIO

Se placer dans le menu Image dont le contenu est Statistique; Fin de l'image. Effacer le contenu des listes par Image dont le contenu est DEL-ALL; Fin de l'image. Entrer les valeurs xi en List 1 et les valeurs yi en List 2. Régler les colonnes pour le calcul par Image dont le contenu est CALC; Fin de l'imageImage dont le contenu est SET; Fin de l'image puis 2Var X List : List 1 ; 2Var Y List : List 2 ; 2 Var Freq : 1 ; Image dont le contenu est EXE; Fin de l'image.

Afficher les résultats de la « régression linéaire » (ajustement affine) par Image dont le contenu est REG; Fin de l'imageImage dont le contenu est ax+b; Fin de l'image.

Image dont le contenu est ; Fin de l'image

Procédure sur une calculatrice TI

Se placer dans le menu de statistique par la touche Image dont le contenu est stats; Fin de l'image. Effacer les listes par Image dont le contenu est stats; Fin de l'image 4 : EffListe L1, L2 (les noms des listes L1 et L2 sont au clavier). Entrer les données par Image dont le contenu est stats; Fin de l'image 1 : Modifier puis saisir les xi en L1 et les yi en L2.

Afficher les résultats de la « régression linéaire » (ajustement affine) par Image dont le contenu est stats; Fin de l'image CALC 4 :RegLin(ax+b) Xliste : L1 , Yliste : L2 Image dont le contenu est Calculer; Fin de l'image.

Image dont le contenu est ; Fin de l'imageImage dont le contenu est ; Fin de l'image

Procédure sur une calculatrice NumWorks

Se placer dans l’application Image dont le contenu est Régressions; Fin de l'image. Pour effacer des données, se placer dans l’onglet Image dont le contenu est Donnees; Fin de l'image, sélectionner le nom d’une colonne, faire Image dont le contenu est OK; Fin de l'image puis Image dont le contenu est Effacer la colonne; Fin de l'image.

Sous l’onglet Image dont le contenu est Donnees; Fin de l'image, entrer les valeurs dans les colonnes Image dont le contenu est X1; Fin de l'image et Image dont le contenu est Y1; Fin de l'image.

Sélectionner l’onglet Image dont le contenu est Stats; Fin de l'image pour afficher les calculs statistiques.

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