Algorithmique

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Fiches
Classe(s) : 2de | Thème(s) : Fonctions de référence. Etudes de fonctions


Méthodes

Afficher l’antécédent d’un nombre

Soit f une fonction affine définie sur par f(x)=ax+b (a et b réels avec a0). Compléter l’algorithme suivant afin qu’il affiche l’antécédent c de d par f.

Entrée

:

Saisir les valeurs de a, b et d  (a0).

Traitement

:

c prend la valeur ……….

Sortie

:

Afficher « l’antécédent de d par f est c ».

Conseils

Traduisez la notion d’antécédent en termes d’image.

 

Solution

« c est l’antécédent de d par f » équivaut à « d est l’image de c par f ». Autrement dit, f(c)=d.

À noter ! Un réel d peut avoir zéro, un seul (comme dans cet exercice) ou plusieurs antécédent(s) pour une fonction donnée.

Or, f(c)=da×c+b=da×c=dbc=dba (a0 ici). Cela justifie, d’ailleurs a posteriori, l’existence d’un seul antécédent de d par f et ainsi l’emploi de l’article défini (« l’ » antécédent…).

L’algorithme complété est donc le suivant :

Entrée

:

Saisir les valeurs de a, b et d  (a0).

Traitement

:

c prend la valeur dba.

Sortie

:

Afficher « l’antécédent de d par f est c ».

Déterminer l’expression d’une fonction affine

Soit Cg la courbe représentative d’une fonction affine g qui passe par les points C et D de coordonnées respectives (xC;yC) et (xD;yD) avec xCxD. Compléter l’algorithme suivant :

Entrée

:

Saisir les valeurs de xC, xD, yC et yD(xCxD).

Traitement

:

Si yC=yD

Alors

a prend la valeur ……………

b prend la valeur ……………

Sinon

a prend la valeur ……………

b prend la valeur ……………

Fin Si

Sortie

:

Afficher « La fonction affine g a pour expression g(x)=ax+b, x ».

Conseils

Déterminez a et b en fonction des réels xC, xD, yC et yD.

 

Solution

La fonction g étant affine, il existe deux réels a et b (à déterminer) tels que, pour tout réel x, g(x)=ax+b. Or, les points C et D appartiennent à la droite Cg.

Ainsi, d’une part yC=g(xC)=a×xC+b et d’autre part yD=g(xD)=a×xD+b. De la première égalité, il découle immédiatement que b=yCa×xC. En remplaçant b par cette expression dans la deuxième égalité, nous obtenons :

yD=a×xD+byD=a×xD+yCa×xCyDyC=a×(xDxC)xCxDa=yDyCxDxC.

Dans le cas particulier où yC=yD, alors a=0 et b=yC. D’où :

Traitement

:

Si yC=yD

Alors

a prend la valeur 0

b prend la valeur yC(ou yD)

Sinon

a prend la valeur yDyCxDxC

b prend la valeur yCa×xC

Fin Si

Cet algorithme distingue les cas où la droite Cg est « horizontale » ou non. Autrement dit, les cas où Cg est, ou non, parallèle à l’axe des abscisses.