Algorithmique : Équation, dérivation et fonctions trigonométriques

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Fiches
Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Compléments sur les fonctions
Corpus Corpus 1
Algorithmique

FB_Bac_98617_MatT_S_015

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xx

3

Méthodes

Résoudre une équation trigonométrique

L’algorithme suivant permet de calculer une valeur approchée à de la solution de l’équation sur , équivalente à . Il utilise une boucle Tant que.


1


Variables


et sont des nombres réels


2


Initialisation


Affecter à la valeur 0


3



Affecter à la valeur 1


4


Traitement


Tant que


5




Affecter à la valeur


6




Affecter à la valeur


7



Fin de Tant que


8


Sortie


Afficher


9



Afficher

1. Quel est le signe de la valeur affichée de  ? Justifier.

2. Soit la valeur de affichée et la valeur qui la précédait.

Montrer que la valeur affichée de répond à la question.

3. Quelles instructions devrait-on ajouter pour que le programme affiche ?

4. Comment modifier l’algorithme pour qu’il donne une valeur approchée à de ?

Conseil

1. La variable contient les valeurs de . L’algorithme reste dans la boucle Tant que aussi longtemps que est strictement positif. Dès qu’il est négatif ou nul, l’algorithme sort de la boucle et exécute l’instruction suivante.

Solution

1. L’affichage de se produit à la sortie de la boucle. C’est pourquoi la valeur affichée de est négative ou nulle.

2. Puisque , . Donc donne de une valeur approchée à .

3. Pour afficher , il suffit d’ajouter, après la ligne 9, les instructions

Affecter àla valeur

Afficher

4. Si on veut une valeur de à il suffit de modifier la ligne 5 en

Affecter àla valeur.

Étudier le signe de ,


1


Variables


est un nombre réel


2



, , sont des nombres entiers


3


Initialisation


Affecter à la valeur 0


4



Affecter à la valeur 0


5


Traitement


Pour allant de 1 à 1000


6




prend la valeur


7




Si Alors


8





Affecter à la valeur


9





Sinon


10





Affecter à la valeur


11




Fin Si


12



Fin Pour


13


Sortie


Afficher


14



Afficher

1. Que représentent les deux valeurs affichées ?

2. Pourquoi obtient-on les valeurs suivantes pour (respectivement) , , et  ?

874 ; 126  9874 ; 126  49874 ; 126  99874 ; 126

Solution

1. La variable représente le nombre d’entiers strictement positifs tels que et le nombre de ces entiers tels que .

2. Si n tend vers , est proche de 0 et supérieur à 0.

Étudier revient donc à étudier .

La fonction sinus est positive au voisinage de , donc le nombre de valeurs positives de continue d’augmenter quand n tend vers , et le nombre de valeurs négatives reste fixe. Il ne varie plus puisque quand n tend vers .

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