Algorithmique : Études de fonctions

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Fiches
Classe(s) : Tle ES - Tle L | Thème(s) : Notion de continuité sur un intervalle
Corpus Corpus 1
Algorithmique

FB_Bac_98616_MatT_LES_015

15

xx

2

Méthode

Faire fonctionner un algorithme

On considère la fonction définie sur par?:

.

On admet que admet une unique racine dans telle que?:

.

Déclaration de variables

a, b, m, r sont des nombres réels

Début

Affecter à a la valeur 3.

Affecter à b la valeur 3,05.

Saisir r

Tant que

Affecter à m la valeur

Si

Alors affecter à a la valeur m

Sinon affecter à b la valeur m

Fin si

Fin tant que

Afficher a

Afficher b

Fin

Faire fonctionner l’algorithme avec en complétant le tableau suivant. Arrondir les valeurs de au millième.

Interpréter les résultats trouvés pour a et b à la fin de cet algorithme.

 

?

b-a

b-a>r

m

f(m)

f(m)>0

a

b

Initialisation

?

?

?

?

?

?

?

Étape 1

?

?

?

?

?

?

?

Étape 2

?

?

?

?

?

?

?

Étape 3

?

?

?

?

?

?

?

Étape 4

?

?

?

?

?

?

?

 
Conseils
  • Faire fonctionner un algorithme consiste à relever les différentes valeurs prises par les variables au cours des étapes de cet algorithme. Le plus souvent, on utilise un tableau pour mettre en évidence ces valeurs et ces étapes.
  • Il s’agit ici d’un algorithme de dichotomie. Il permet d’obtenir un encadrement d’une racine d’une fonction avec une précision choisie par avance. Les instructions d’initialisation permettent de donner un premier encadrement à la racine, ici dans l’intervalle .
  • La boucle tant que est effectuée jusqu’à ce que la différence devienne plus petite qu’une précision r choisie au début. Lorsque cette différence devient plus petite que 0,01, la boucle ne s’exécute plus et on peut alors afficher les valeurs en sortie.
  • À l’intérieur de la boucle, un test (si…alors…sinon…) permet de savoir si on réduit l’intervalle par la droite ou par la gauche. À chaque boucle, cet intervalle est réduit de moitié grâce à l’instruction .
  • Les colonnes?2 et 5 doivent comporter la mention «?oui?» ou «?non?».
Solution
 

?

b-a

b-a>r

m

f(m)

f(m)>0

a

b

Initialisation

?

?

?

?

?

3

3,05

Étape 1

0,05

oui

3,025

0,485

oui

3,025

3,05

Étape 2

0,025

oui

3,0375

0,218

oui

3,0375

3,05

Étape 3

0,0125

oui

3,04375

0,082

oui

3,04375

3,05

Étape 4

0,00625

non

La boucle est terminée

 

En sortie, l’affichage sera?:

a =?3,04375 et b =?3,05.

Les valeurs trouvées constituent un encadrement de la racine .

Un encadrement de à 0,01 près est?:

.

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