Algorithmique : fonction affine - extremum

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Fiches
Classe(s) : 2de | Thème(s) : Fonctions de référence. Études de fonctions


Méthodes

Déterminer l’expression d’une fonction affine

Soit Cg la courbe représentative dans un repère du plan d’une fonction affine g. Cg passe par les points C (xC;yC) et D (xD;yD) avec xCxD. Compléter l’algorithme suivant :

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Conseils

Déterminez a et b en fonction des réels xC, xD, yC et yD.

Solution

La fonction g étant affine, il existe deux réels a et b (à déterminer) tels que, pour tout réel x, g(x)=ax+b. Les points C et D appartiennent à la courbe représentative Cg, qui est d’ailleurs une droite. Par conséquent, nous avons d’une part yC=g(xC) et d’autre part yD=g(xD). Or :

{yC=g(xC)yD=g(xD){yC=a×xC+byD=a×xD+b{b=yCa×xCyDyC=a×(xDxC)xCxD{b=yCa×xCa=yDyCxDxC

Si yC=yD (cas particulier), Alors a=0xDxC=0 et b=yC0×xC=yC.

Sinon (yCyD), aucune simplification n’est, a priori, possible.

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Cet algorithme distingue les cas où la droite Cg est, ou non, parallèle à l’axe des abscisses.

Rechercher la nature d’un extremum

Soit p un polynôme de degré 2 défini sur par p(x)=ax2+bx+c. Compléter l’algorithme suivant :

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Conseils

Rappelez-vous que les variations d’un polynôme de degré 2 dépendent du signe de a.

Solution

La fonction p étant un polynôme de degré 2, le réel a est non nul et les variations de p dépendent de son signe .

Posons α=b2a.

Si a>0, p est strictement décroissante sur ];α] et strictement croissante sur [α;+[ : p admet donc un minimum en α.

Si a<0, p est strictement croissante sur ];α] et strictement décroissante sur [α;+[ : p admet donc un maximum en α.

Les phases de traitement et de sortie sont donc les suivantes :

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