Algorithmique : Géométrie dans l'espace

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Fiches
Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Vecteurs dans l'espace et produit scalaire
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Corpus Corpus 1
Algorithmique

FB_Bac_98617_MatT_S_053

53

xx

4

Méthodes

Tester l&rsquo orthogonalité de deux vecteurs

L&rsquo algorithme suivant permet de savoir si un vecteur est orthogonal à un vecteur donné.

Il utilise l&rsquo instruction conditionnelle Si&hellip Alors&hellip Sinon&hellip

&nbsp

1

Variables

sont des nombres réels

2

Entrée

Demander à l&rsquo utilisateur les valeurs de

3

Traitement

Affecter à la valeur

4

SiAlors

5

Sortie

Afficher &laquo  Le vecteur saisi et v(1 , 2 , 3) sont orthogonaux &raquo

6

Sinon

7

Sortie

Afficher &laquo  Le produit scalaire du vecteur saisi et de v(1 , 2 , 3) est égal à &raquo

8

Sortie

Afficher

9

Fin Si

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1. Quel est le rôle de la variable  ?

2. Quelles sont les coordonnées du vecteur donné au départ ? Comment le programme teste-t-il l&rsquo orthogonalité des deux vecteurs ?

Conseils

1. La variable est constituée des deux premières lettres de l&rsquo objet d&rsquo étude des fiches 51 et 52.

2. C&rsquo est une question de cours : .

Solution

1. La variable contient la valeur du produit scalaire des vecteurs et .

2. Le vecteur donné au départ est le vecteur dont les coordonnées sont . Le programme teste l&rsquo orthogonalité des deux vecteurs en calculant leur produit scalaire (contenu dans la variable ). S&rsquo il est égal à 0, alors les deux vecteurs sont orthogonaux, sinon ils ne le sont pas.

Écrire une équation cartésienne d&rsquo un plan.

Soit un plan passant par un point donné et dont un vecteur normal a pour coordonnées . L&rsquo algorithme ci-dessous permet de trouver une équation cartésienne de ce plan.

&nbsp

1

Variables

sont des nombres réels

2

Entrée

Demander à l&rsquo utilisateur les valeurs de

3

Traitement

prend la valeur

4

Sortie

Afficher

&nbsp

1. Sans utiliser l&rsquo algorithme, donner une équation cartésienne de .

2. Sachant que le programme détermine une équation du type , trouver les coordonnées du point .

3. Sachant que l&rsquo algorithme affiche &laquo  3 &raquo et que et , déterminer une équation cartésienne de .

Conseils

2. Pensez à .

3. L&rsquo algorithme affiche la valeur de .

Solution

à noter ! La seule
contrainte est que les coefficients de et doivent être proportionnels à .

1. Une équation de est On pourrait aussi choisir , etc.

2. Un point appartient à si et seulement si .

Si a pour coordonnées , alors

On voit donc que .

Puisque d&ensp = &ndash  a+b+ 2c, on obtient par identification :

.

3. donc :

L&rsquo équation cherchée est donc .

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