Algorithmique : Limites de fonctions

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Fiches
Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Compléments sur les fonctions
Corpus Corpus 1
Algorithmique

FB_Bac_98617_MatT_S_010

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xx

2

Méthodes

Étudier une fonction définie par morceaux

L’algorithme suivant permet d’afficher les valeurs d’une fonction f. Il contient un test conditionnel Si Alors Sinon.


1


Variables


et de sont des nombres réels


2


Entrée


Demander à l’utilisateur la valeur de


3


Traitement


Si Alors


4




Affecter à de la valeur


5



Sinon


6




Affecter à de la valeur


7



Fin Si


8


Sortie


Afficher


9



Afficher de

1. Déterminer la fonction .

2.a. Quel est l’ensemble de définition de  ?

b. Calculer .

3. Calculer et .

Conseils

1. Prenez bien en compte les parenthèses.

3. Choisissez l’expression de selon que tend vers ou

Solution

1. Si , alors .

Si , alors .

2.a. D’après la définition de , on trouve .

b.. On a utilisé la deuxième expression de

3. Quand tend vers , prend des valeurs inférieures à 2.

Donc par somme.

De même, par somme.

Étudier la limite d’une fonction trigonométrique

La fonction sinus n’a pas de limite quand tend vers . Pour le prouver, on se donne un nombre et on utilise l’algorithme suivant. Il affiche le plus petit entier naturel tel qu’il existe deux suites et vérifiant et .


1


Variables


et sont des nombres réels


2



est un entier naturel


3


Initialisation


Affecter à la valeur 0


4



Affecter à la valeur


5


Entrée


Demander à l’utilisateur la valeur de


6


Traitement


Tant que


7




Affecter à la valeur





Affecter à la valeur




Fin Tant que


8


Sortie


Afficher


9



Afficher

1.a. Montrer que est une suite arithmétique. Quel est son premier terme ?

b. Déterminer en fonction de .

2. Montrer que convient et conclure.

Conseil

2. Vérifiez que l’on a et .

Solution

1.a. L’instruction Affecter àla valeur signifie que la nouvelle valeur de est égale à l’ancienne augmentée de . La suite est donc une suite arithmétique de raison .

L’initialisation montre que .

b. Pour tout  : .

2. Pour la valeur de affichée : . Donc , c’est-à-dire . D’autre part, car .

Ainsi ,

et donc oscille entre 1 et –1 quand .

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