Algorithmique : Limites de fonctions

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Fiches
Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Compléments sur les fonctions
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Corpus Corpus 1
Algorithmique

FB_Bac_98617_MatT_S_010

10

xx

2

Méthodes

Étudier une fonction définie par morceaux

L&rsquo algorithme suivant permet d&rsquo afficher les valeurs d&rsquo une fonction f. Il contient un test conditionnel Si Alors Sinon.

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1

Variables

et de sont des nombres réels

2

Entrée

Demander à l&rsquo utilisateur la valeur de

3

Traitement

Si Alors

4

Affecter à de la valeur

5

Sinon

6

Affecter à de la valeur

7

Fin Si

8

Sortie

Afficher

9

Afficher de

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1. Déterminer la fonction .

2.a. Quel est l&rsquo ensemble de définition de  ?

b. Calculer .

3. Calculer et .

Conseils

1. Prenez bien en compte les parenthèses.

3. Choisissez l&rsquo expression de selon que tend vers ou

Solution

1. Si , alors .

Si , alors .

2.a. D&rsquo après la définition de , on trouve .

b.. On a utilisé la deuxième expression de

3. Quand tend vers , prend des valeurs inférieures à 2.

Donc par somme.

De même, par somme.

Étudier la limite d&rsquo une fonction trigonométrique

La fonction sinus n&rsquo a pas de limite quand tend vers . Pour le prouver, on se donne un nombre et on utilise l&rsquo algorithme suivant. Il affiche le plus petit entier naturel tel qu&rsquo il existe deux suites et vérifiant et .

&nbsp

1

Variables

et sont des nombres réels

2

est un entier naturel

3

Initialisation

Affecter à la valeur 0

4

Affecter à la valeur

5

Entrée

Demander à l&rsquo utilisateur la valeur de

6

Traitement

Tant que

7

Affecter à la valeur

Affecter à la valeur

Fin Tant que

8

Sortie

Afficher

9

Afficher

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1.a. Montrer que est une suite arithmétique. Quel est son premier terme ?

b. Déterminer en fonction de .

2. Montrer que convient et conclure.

Conseil

2. Vérifiez que l&rsquo on a et .

Solution

1.a. L&rsquo instruction Affecter àla valeur signifie que la nouvelle valeur de est égale à l&rsquo ancienne augmentée de . La suite est donc une suite arithmétique de raison .

L&rsquo initialisation montre que .

b. Pour tout  : .

2. Pour la valeur de affichée : . Donc , c&rsquo est-à-dire . D&rsquo autre part, car .

Ainsi ,

et donc oscille entre 1 et &ndash 1 quand .

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