Dans un pays, un institut de sondage publie chaque mois la cote de popularité du président. Les enquêtes réalisées révèlent que d’un mois à l’autre, 6?% des personnes qui étaient favorables ne le sont plus et 4?% des personnes qui n’étaient pas favorables le deviennent.

On interroge au hasard une personne et on note l’événement «?le mois n, la personne interrogée a une opinion favorable du président?», de probabilité . On donne aussi .

a. Reproduire et compléter l’arbre ci-dessous?:

b. Montrer que pour tout entier naturel n?:

.

c. On admet que la suite est décroissante, de limite 0,4.

Compléter la 1^re ligne de l’algorithme suivant?:

d. À quoi correspond l’affichage final J??

Pourquoi est -on sûr que cet algorithme s’arrête??

c. On initialise avec la valeur de .

On écrira donc?: «?P prend la valeur 0,55.?»

d.J est le rang pour lequel passe au-dessous du seuil . Ce seuil est une valeur approchée de la limite au nombre de décimales K près.

Par exemple, si K =?2, l’algorithme donne J =?26?: cela signifie que la première valeur de la suite qui passe au-dessous de 0,41 est .

Si K =?3, l’algorithme donne J =?48?: cela signifie que la première valeur de la suite qui passe au-dessous de 0,401 est .

On est sûr que l’algorithme s’arrête car la limite est 0,4. Après un certain nombre d’itérations, on peut s’approcher de cette limite aussi près que l’on veut.