Algorithmique : Suites numériques

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Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Suites numériques
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Algorithmique

FB_Bac_98617_MatT_S_004

4

xx

1

Méthodes

Calculer la somme des termes d’une suite

On considère l’algorithme suivant où figure une boucle Tant que.


1


Variables


, et sont des entiers naturels


2


Entrée


Demander à l’utilisateur la valeur de


3


Initialisation


Affecter à la valeur 0


4



Affecter à la valeur 1


5


Traitement


Tant que


6




Affecter à la valeur


7




Affecter à la valeur


8



Fin de Tant que


9


Sortie


Afficher

1.a. Que calcule l’algorithme ?

b. Donner la valeur affichée par l’algorithme lorsque l’utilisateur entre la valeur .

2. Voici les résultats donnés par l’algorithme pour n de 1 à 5.


n


1


2


3


4


5


Sortie


1


9


36


100


225

Que peut-on conjecturer sur la nature de la somme  ?

Conseils

1. Il suffit de suivre pas à pas le cheminement de l’algorithme.

2. Les sorties sont les carrés de nombres entiers.

Solution

1.a. L’algorithme calcule la somme des cubes des entiers de 1 à .

b. Lorsque l’utilisateur entre la valeur 3, l’algorithme affiche 36 car .

2. On peut conjecturer que est un carré parfait.

Afficher des termes consécutifs d’une suite

L’algorithme suivant permet d’afficher des termes consécutifs d’une suite arithmético-géométrique, c’est-à-dire du type .

Il utilise la boucle Pour.


1


Variables


est un entier naturel


2



et sont des nombres réels


3


Entrée


Demander à l’utilisateur la valeur de


4


Initialisation


Affecter à la valeur


5


Traitement


Pour variant de 1 à 10


6




Affecter à la valeur


7


Sortie



Afficher


8



Fin Pour

1. Identifier et .

2. Quels sont les termes de la suite affichés par l’algorithme ?

3. Que se passe-t-il si  ?

4. Que faudrait-il changer pour que l’algorithme affiche aussi  ?

Conseils

Le premier nombre affiché est car c’est l’utilisateur qui fournit le nombre La variable contient successivement les valeurs ­calculées , , etc. qui sont affichées.

Solution

1. De l’instruction Affecter àla valeur, on déduit que et .

2. Comme on a Pourvariant de 1 à 10, l’algorithme affiche les termes de à .

3. Si , alors la suite est constante :

, etc.

4. Il suffit d’ajouter la ligne Afficher entre la ligne 4 et la ligne 5.

remarque On peut démontrer que si , la suite est décroissante et, si , elle est croissante.

à noter! On peut également démontrer par récurrence que,
pour tout ,

.

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