Terminale générale Mathématiques Sommes de variables aléatoires

La loi binomiale formalise un schéma de Bernoulli. On peut aussi considérer une variable aléatoire suivant cette loi comme somme de variables de Bernoulli indépendantes de même paramètre.

I Loi de Bernoulli, espérance et variance (rappel)

Soit p un nombre réel appartenant à l'intervalle $[0; 1]$ .

La variable aléatoire X suit la loi de Bernoulli de paramètre p si et seulement si $P (X = 1) = p$ et $P (X = 0) = 1 - p$ .

Mot clé

p est la probabilité de succès.

Si X suit la loi de Bernoulli de paramètre p, alors son espérance est $E (X) = p$ et sa variance est $V (X) = p (1 - p)$ .

II Loi binomiale, espérance et variance

Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 2, p un réel de l'intervalle $[0; 1]$ et X une variable aléatoire suivant la loi binomiale de paramètres n et p.

X est la somme de n variables aléatoires indépendantes X₁, X₂, …, X_n suivant la même loi de Bernoulli de paramètre p : chaque épreuve du schéma de Bernoulli modélisé par X est associée à une variable aléatoire de Bernoulli de paramètre p qui prend la valeur 1 en cas de succès à cette épreuve, la valeur 0 sinon.

D'après les propriétés de la somme de variables aléatoires indépendantes, on en déduit son espérance $E (X)$ et sa variance $V (X)$ :

$E (X) = n p$ et $V (X) = n p (1 - p)$

Remarque : Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 2 et p un réel de l'intervalle $[0; 1]$ . Deux variables aléatoires suivant respectivement la loi binomiale de paramètres n et p et la loi binomiale de paramètres n et $1 - p$ ont la même variance (et donc la même « dispersion »). Les diagrammes en bâtons qui les représentent sont symétriques l'un de l'autre par rapport à la droite d'équation $x = \frac{n}{2}$ .

Exemple : Deux lois binomiales « symétriques », n = 24, p = 0,3 et p = 0,7, symétrie par rapport à la droite d'équation x = 12.

Méthode

Déterminer et interpréter l'espérance d'une variable aléatoire suivant une loi binomiale

Dans un grand magasin, chaque client reçoit, lors du paiement de ses achats, un ticket de participation à une loterie ; 16 % des tickets distribués permettent de gagner un bon d'achat de 8 €.

On suppose que les tickets distribués sont indépendants les uns des autres, et que leur nombre est suffisamment grand pour que la distribution puisse être assimilée à un tirage avec remise.

Le directeur du magasin a prévu un budget de 200 € par tranche de 150 clients et souhaite savoir si ce budget est raisonnable ; il effectue à l'aide d'un logiciel une simulation de la distribution de 150 tickets indépendants les uns des autres.

On appelle X la variable aléatoire égale au nombre de tickets gagnants sur les 150 de la simulation.

a. Reconnaître la loi de X et préciser ses paramètres.

b. Calculer l'espérance $E (X)$ de la variable aléatoire X.

c. Le budget prévisionnel paraît-il suffisant ?

Conseils

c. Interpréter le résultat de la question précédente, calculer la somme moyenne distribuée par le magasin par tranche de 150 clients et comparer cette somme au budget prévisionnel.

Solution

a. L'expérience peut être considérée comme la répétition de 150 épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes ; le succès est « le ticket est gagnant », la probabilité de succès est 0,16 puisque 16 % des tickets sont gagnants.

La variable aléatoire X compte le nombre de succès, donc X suit la loi binomiale de paramètres 150 et 0,16.

b. X suit une loi binomiale de paramètres n et p, donc $E (X) = n p$ avec $n = 150$ et $p = 0,16$ .

D'où $E (X) = 150 \times 0,16$ , soit $E (X) = 24$ .

c. Le résultat de la question précédente signifie qu'il y a en moyenne 24 clients gagnants par tranche de 150 clients.

Le magasin donne 8 € à chacun de ces gagnants.

$24 \times 8 = 192$ , donc le magasin distribue en moyenne 192 € par tranche de 150 clients.

$192 200$ , donc le budget prévisionnel devrait être suffisant.

Application à la loi binomiale