Appliquer des identités remarquables

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Fiches
Classe(s) : 3e | Thème(s) : Utiliser le calcul littéral


Rappels de cours

Identités remarquables

Quels que soient les nombres réels a et b, nous avons :

(a+b)2=a2+2ab+b2  (1)

(ab)2=a22ab+b2(2)

a2b2=(a+b)(ab)  (3)

remarque N’oubliez pas que les identités remarquables se lisent dans les deux sens. Par exemple, (3) peut se lire : (a+b)(ab)=a2b2.

Méthodes

Reconnaître les identités remarquables

Compléter les égalités suivantes :

a. (2x+)2=++49

b. (3)2=24y+

c. ()2=64z280z+

d. 9y284y+=()2

conseils

Écrivez côte à côte l’égalité donnée et l’identité remarquable qui lui ressemble le plus.

Solution

a. (2x+)2=++49 ressemble à

(a+b)2=a2+2ab+b2.

Nous remarquons alors que a=2x et b=+7.

Conclusion : (2x+7)2=4x2+28x+49.

b. (3)2=24y+ ressemble à

(ab)2=a22ab+b2.

Nous remarquons alors que b=3 et 2ab=24y.

En remplaçant b par 3, nous avons 6a=24y, soit a=4y.

Conclusion : (4y3)2=16y224y+9.

c. ()2=64z280z+ ressemble à

(ab)2=a22ab+b2

avec a2=64z2 et 2ab=80z, soit ab=40z.

Alors nous pouvons prendre a=8z et b=5.

Conclusion : (8z5)2=64z280z+25.

d. 9y284y+=()2 ressemble à (ab)2=a22ab+b2

avec 9y2=a2 et 84y=2ab ou 42y=ab.

Alors nous pouvons prendre a=3y et b=14.

Conclusion : 9y284y+196=(3y14)2.

Utiliser les identités remarquables pour calculer mentalement

Calculer A, B et C sans utiliser de calculatrice.

A=101×99   B=292   C=512

conseils

Pour A, remarquez que 101=100+1 et 99=1001.

Pour B, remarquez que 29=301.

Pour C, remarquez que 51=50+1.

Utilisez alors l’identité remarquable appropriée.

Solution

Nous avons A=(100+1)×(1001).

Nous savons que (a+b)(ab)=a2b2.

Alors A=100212 ou encore A=100001=9999.

B=(301)2 et nous savons que (ab)2=a22ab+b2.

Alors B=3022×30×1+12 ou encore B=90060+1, soit B=841.

C=(50+1)2 et nous savons que (a+b)2=a2+2ab+b2.

À noter ! Vous pouvez vérifier tous ces résultats avec votre calculatrice.

Alors C=502+2×50×1+12

ou encore C=2500+100+1,

soit C=2601.