Appliquer la réciproque du théorème de Pythagore

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Fiches
Classe(s) : 3e | Thème(s) : Utiliser la géométrie plane pour démontrer


Rappels de cours

Réciproque du théorème de Pythagore

► Si un triangle ABC est tel que BC2=AB2+AC2, alors ce triangle est rectangle en A.

► Autre formulation : Si, dans un triangle, le carré du plus grand côté est égal à la somme des carrés des deux autres côtés, alors le triangle est rectangle et admet pour hypoténuse le plus grand des côtés.

exemple Soit un triangle ABC tel que AB=5,7 ; AC=8,4 et BC=10. Montrons que le triangle ABC n’est pas rectangle.

1. [BC] est le plus grand des côtés du triangle ABC.

2. Calculons : AB2=5,72=32,49 ; AC2=8,42=70,56 ; BC2=102=100.

3. Puisque 32,49+70,56=103,05, alors 32,49+70,56100.

Par conséquent : AB2+AC2BC2.

Conclusion : Si le triangle ABC avait été rectangle en A, alors nous aurions pu appliquer le théorème de Pythagore et écrire que AB2+AC2=BC2. Mais AB2+AC2BC2, donc le triangle ABC n’est pas rectangle en A.

Méthodes

Appliquer la réciproque du théorème de Pythagore dans le plan

Soit un triangle ABC tel que AB=36, AC=48 et BC=60 (les longueurs sont exprimées en millimètres).

a. Quelle est la nature du triangle ABC ?

b. Soit H le point du segment [BC] tel que CH=38,4. On sait de plus que AH=28,8. Quelle est la nature du triangle AHC ? Que représente la droite (AH) pour le triangle ABC ?

conseils

Calculez les carrés des mesures de chacun des côtés du triangle considéré. Additionnez les deux plus petits carrés et comparez cette somme au troisième carré.

Solution

a. On a : AB2=362=1296 ; AC2=482=2304 ; BC2=602=3600.

Nous remarquons que 1296+2304=3600, c’est-à-dire AB2+AC2=BC2. D’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABC est rectangle en A.

b. On a : AH2=28,82=829,44 ; CH2=38,42=1474,56 ;

AC2=482=2304.

Nous remarquons que 829,44+1474,56=2304, c’est-à-dire AH2+CH2=AC2. D’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle AHC est rectangle en H. La droite (AH) représente donc la hauteur issue de A dans le triangle BAC.

Déterminer si une étagère est horizontale ou non

02905_Figure_44_01

Les différentes longueurs sont données en cm.

L’étagère [AB] est fixée à un mur vertical et maintenue par un support [CD]. On donne : AC = 40, AD = 60 et DC = 70.

a. L’étagère est-elle horizontale ? Pourquoi ?

b. Le point C est fixe tandis que le point D peut coulisser sur [AE]. À quelle distance de A (arrondie à 0,1 près) doit-on placer le point D pour que l’étagère soit horizontale ?

conseils

a. L’étagère est horizontale si (AC) est perpendiculaire à (AD), donc si le triangle DAC est rectangle en A.

 

Solution

a. AD2+AC2=602+402=5200 et CD2=702=4900.

Donc AD2+AC2CD2. Donc le triangle DAC n’est pas rectangle en A, et l’étagère n’est pas horizontale.

b. Notons D la nouvelle position du point D qui permet d’avoir un triangle DAC rectangle en A. Appliquons le théorème de Pythagore dans le triangle DAC rectangle en A : AD′ 2+AC2=CD′ 2, soit AD′ 2=CD′ 2AC2=702402=3300.

AD′ =330057,4 (valeur arrondie à 0,1 près).

Il faut placer le point D (ou D) à 57,4 cm du point A pour que l’étagère soit horizontale.