Appliquer le théorème de Thalès

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Fiches
Classe(s) : 3e | Thème(s) : Utiliser la géométrie plane pour démontrer


Rappels de cours

Théorème de Thalès

Soient :

deux droites 𝒟 et 𝒟 sécantes en A ;

B et M deux points de 𝒟 distincts de A ;

C et N deux points de 𝒟 distincts de A.

Si les droites (BC) et (MN) sont parallèles, alors :

AMAB=ANAC=MNBC.

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Méthodes

Calculer des distances dans le plan

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L’unité de longueur est le centimètre.

Les droites (AB) et (EF) sont parallèles.

De plus, OA=2 ; OF=1,5 ; OB=3 et EF=1,8.

Calculer les distances OE et AB.

conseils

Faites attention à l’ordre des points considérés !

N’oubliez pas de justifier l’application du théorème de Thalès.

Solution

Les points A, O, F sont alignés dans le même ordre que les points B, O, E. De plus, les droites (AB) et (EF) sont parallèles.

Nous pouvons donc appliquer le théorème de Thalès et écrire :

OAOF=OBOE=ABEF.

En remplaçant les longueurs par leurs mesures dans l’égalité OAOF=OBOE, nous obtenons 21,5=3OE, d’où OE=3×1,52,

soit OE=2,25 cm.

De même, OAOF=ABEF donne 21,5=AB1,8, soit AB=2,4 cm.

Construire un point sur un segment
selon un rapport donné

Sur une droite 𝒟, on place deux points A et B tels que AB=9 cm, puis on trace une droite Δ passant par A mais pas par B. On place sur cette droite un point C tel que AC=12 cm et, sur le segment [AC], on place le point E tel que AE=5 cm.

Construire le point M de [AB] tel que MAMB=57.

conseils

Retrouvez une configuration de Thalès en traçant la droite parallèle à (CB) passant par E. Celle-ci coupe 𝒟 en P.

 

Solution

Les points A, E, C sont alignés dans le même ordre que les points A, P, B et les droites (EP) et (CB) sont parallèles.

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Le théorème de Thalès permet d’écrire : APAB=AEAC=512.

Mais AB=AP+PB, donc nous pouvons écrire : APAP+PB=512,

soit 5AP+5PB=12AP.

Alors 7AP=5PB et enfin PAPB=57.

Le point P est donc le point M cherché.