Appliquer les théorèmes sur les limites

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Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Suites numériques
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Appliquer les théorèmes sur?les?limites

FB_Bac_98617_MatT_S_003

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Rappels de cours

Pour calculer , , etc. on utilise les mêmes théorèmes que pour les fonctions, notamment au sujet des formes indéterminées. (>fiche7)

1Théorème des gendarmes (ou d’encadrement)

Soit , et trois suites telles que, à partir d’un certain rang, .

? Si et convergent toutes les deux vers le même réel , alors converge aussi vers .

Remarque Si, à partir d’un certain rang, on a et si , alors la suite converge et .

En effet, .

? Dans le cas où l’une des suites encadrantes tend vers l’infini ( ou ), on se contente d’une seule des deux inégalités?:

  • Si  alors .
  • Si  alors .

2Théorèmes de convergence monotone

? Dire que est majorée (resp. minorée) par un réel (resp. ) signifie que pour tout de ?: (resp. ).

? Dire que est bornée signifie que la suite est à la fois majorée et minorée, c’est-à-dire qu’il existe un réel tel que, pour tout de.

?Théorèmes de convergence?:

  • Toute suite croissante et majorée converge.

à noter ! Toute suite croissante non majorée tend vers et toute suite décroissante non minorée tend vers .

  • Toute suite décroissante et minorée converge.
  • Toute suite monotone et bornée converge.

Méthode

Étudier la convergence d’une suite

On considère une suite définie par et vérifiant pour tout de , .

Étudier la convergence de .

Conseil

Prouvez par récurrence que .

Solution
  • Démontrons par récurrence que, pour tout entier naturel , , double inégalité notée .

Initialisation?:  puisque et . Donc est vraie.

Hérédité?: Soit un entier naturel fixé.

Supposons que et montrons qu’alors .

D’après l’énoncé, on a .

On en déduit que , donc .

Par conséquent, est vraie, ce qu’il fallait démontrer.

Conclusion?: Pour tout entier naturel , .

  • Puisque , on en déduit par le théorème des gendarmes que et donc que .

Il s’ensuit que la suite converge vers 1.

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