Appliquer les théorèmes sur les limites

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Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Suites numériques
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Appliquer les théorèmes sur?les?limites

FB_Bac_98617_MatT_S_003

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Rappels de cours

Pour calculer , , etc. on utilise les mêmes théorèmes que pour les fonctions, notamment au sujet des formes indéterminées. (&gt fiche7)

1Théorème des gendarmes (ou d&rsquo encadrement)

Soit , et trois suites telles que, à partir d&rsquo un certain rang, .

?&thinsp Si et convergent toutes les deux vers le même réel , alors converge aussi vers .

Remarque Si, à partir d&rsquo un certain rang, on a et si , alors la suite converge et .

En effet, .

?&thinsp Dans le cas où l&rsquo une des suites encadrantes tend vers l&rsquo infini ( ou ), on se contente d&rsquo une seule des deux inégalités?:

  • Si &ensp alors&ensp .
  • Si &ensp alors&ensp .

2Théorèmes de convergence monotone

?&thinsp Dire que est majorée (resp. minorée) par un réel (resp. ) signifie que pour tout de ?: (resp. ).

?&thinsp Dire que est bornée signifie que la suite est à la fois majorée et minorée, c&rsquo est-à-dire qu&rsquo il existe un réel tel que, pour tout de.

?&thinsp Théorèmes de convergence?:

  • Toute suite croissante et majorée converge.

à noter ! Toute suite croissante non majorée tend vers et toute suite décroissante non minorée tend vers .

  • Toute suite décroissante et minorée converge.
  • Toute suite monotone et bornée converge.

Méthode

Étudier la convergence d&rsquo une suite

On considère une suite définie par et vérifiant pour tout de , .

Étudier la convergence de .

Conseil

Prouvez par récurrence que .

Solution
  • Démontrons par récurrence que, pour tout entier naturel , , double inégalité notée .

Initialisation?:&ensp puisque et . Donc est vraie.

Hérédité?:&ensp Soit un entier naturel fixé.

Supposons que et montrons qu&rsquo alors .

D&rsquo après l&rsquo énoncé, on a .

On en déduit que , donc .

Par conséquent, est vraie, ce qu&rsquo il fallait démontrer.

Conclusion?:&ensp Pour tout entier naturel , .

  • Puisque , on en déduit par le théorème des gendarmes que et donc que .

Il s&rsquo ensuit que la suite converge vers 1.

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