Approche graphique du nombre dérivé

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Classe(s) : 1re ST2S - 1re STI2D - 1re STL - 1re STMG | Thème(s) : Dérivation

A Sécante et tangente

Sécante à une courbe en un point

La courbe 𝒞 est la représentation graphique d’une fonction f. A est un point fixe d’abscisse a et d’ordonnée f(a).

On considère le point M de la courbe 𝒞 d’abscisse a + h et d’ordonnée f(a + h).

La droite (AM) est sécante à la courbe 𝒞.

Le taux d’accroissement de la fonction f entre les valeurs a et a + h est : f(a+h)f(a)(a+h)a=f(a+h)f(a)h.

Le taux d’accroissement f(a+h)f(a)h est le coefficient directeur de la sécante (AM).

À savoir

Le taux d’accroissement d’une fonction f entre les valeurs distinctes x1 et x2 est : f(x2)f(x1)x2x1.

Le coefficient directeur de la droite (AB) qui passe par les points A(xA,yA) et B(xB,yB) est : m=yByAxBxA.

Tangente à une courbe en un point

On imagine que le point M se déplace sur la courbe 𝒞. En se rapprochant de A. L’abscisse a + h de M se rapproche de l’abscisse a de A, c’est-à-dire que h se rapproche de 0. Lorsque h tend vers 0, les sécantes (AM) tendent vers une position limite représentée par la droite (AT) sur la figure, appelée tangente à la courbe au point A.

B Nombre dérivé en un point

DÉFINITION

Soit f une fonction définie sur un intervalle et soit a un nombre fixé de cet intervalle.

Le nombre dérivé de la fonction f en a, noté f′(a), est, si elle existe, la limite finie quand h tend vers 0 du taux de variation f(a+h)f(a)h de la fonction f au point a.

Si f′(a)existe, la fonction f est dérivable en a.

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