A Sécante et tangente

Sécante à une courbe en un point

La courbe est la représentation graphique d'une fonction f. A est un point fixe d'abscisse a et d'ordonnée $f(a)$.

On considère le point M de la courbe d'abscisse a + h et d'ordonnée f(a + h).

La droite (AM) est sécante à la courbe .

Le taux d'accroissement de la fonction f entre les valeurs a et a + h est : $\frac{f(a+h)-f(a)}{(a+h)-a}=\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$.

Le taux d'accroissement $\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$ est le coefficient directeur de la sécante (AM).

Tangente à une courbe en un point

On imagine que le point M se déplace sur la courbe . En se rapprochant de A. L'abscisse a + h de M se rapproche de l'abscisse a de A, c'est-à-dire que h se rapproche de 0. Lorsque h tend vers 0, les sécantes (AM) tendent vers une position limite représentée par la droite (AT) sur la figure, appelée tangente à la courbe au point A.

B Nombre dérivé en un point

DÉFINITION

Soit f une fonction définie sur un intervalle et soit a un nombre fixé de cet intervalle.

Le nombre dérivé de la fonction f en a, noté $\text{f′}\text{(}\text{a}\text{)}$, est, si elle existe, la limite finie quand h tend vers 0 du taux de variation $\frac{f\left(a+h\right)-f\left(a\right)}{h}$ de la fonction f au point a.

Si $\text{f′}\text{(}\text{a}\text{)}$existe, la fonction f est dérivable en a.