Approfondir la fonction exp

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Classe(s) : Tle L - Tle ES | Thème(s) : Fonctions exponentielles
Corpus Corpus 1
Approfondir la fonction exp

FB_Bac_98616_MatT_LES_019

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Rappels de cours

1Dérivée de eu

 Si u est une fonction dérivable sur un intervalle I, alors la fonction est dérivable sur I et sa fonction dérivée est :

 Cas particuliers : a et b sont deux réels quelconques.

  • Si , alors .
  • Si , alors .

2Résolution d’équations et d’inéquations

 Si a et b sont deux réels quelconques, alors :

 Si a et b sont deux réels quelconques, alors :

remarque Les résultats sont les mêmes avec , ou , ou .

Méthodes

Calculer la dérivée d’une fonction de la forme

On considère la fonction définie sur par :

.

Calculer .

Conseils

Les cas particuliers rappelés ci-dessus sont très importants car ils sont très fréquents dans les sujets de baccalauréat. La fonction n’est pas à considérer comme un produit, on utilise plutôt la formule de dérivation :

.

Solution

Étudier les variations d’une fonction contenant un terme de la forme

Étudier les variations de définie sur par :

.

Conseils
  • Comme il est très fréquent de retrouver l’expression , il est bon de remarquer que :

si , alors .

  • Lorsqu’une constante seule figure au dénominateur, il n’est pas nécessaire d’utiliser la formule de dérivation d’un quotient. Ici, on voit le terme comme .
  • Une fois la dérivée obtenue, on prend soin de factoriser par le terme . Dans l’étude de signes, on profite du fait que celui-ci est toujours strictement positif.
Solution

.

Comme , le signe de est celui de .

  • Si , alors .
  • Si , alors .

est donc croissante sur et décroissante sur .

Résoudre une inéquation

Résoudre dans l’inéquation :

.

Conseils
  • Il est préférable de rappeler le théorème utilisé à chaque démonstration.
  • Le nombre e peut être utilisé avec les règles de calcul en pensant qu’il s’agit de e1.
Solution

(1)

Or, on sait que si et sont deux réels quelconques, alors est équivalent à . D’où l’inéquation (1) est équivalente à :

.

>>