Approfondir la fonction exp

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Classe(s) : Tle L - Tle ES | Thème(s) : Fonctions exponentielles
Corpus Corpus 1
Approfondir la fonction exp

FB_Bac_98616_MatT_LES_019

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Rappels de cours

1D&eacute riv&eacute e de eu

&thinsp Si u est une fonction d&eacute rivable sur un intervalle I, alors la fonction est d&eacute rivable sur I et sa fonction d&eacute riv&eacute e est  :

&thinsp Cas particuliers  : a et b sont deux r&eacute els quelconques.

  • Si , alors .
  • Si , alors .

2R&eacute solution d&rsquo &eacute quations et d&rsquo in&eacute quations

&thinsp Si a et b sont deux r&eacute els quelconques, alors  :

&thinsp Si a et b sont deux r&eacute els quelconques, alors  :

remarque  Les r&eacute sultats sont les m&ecirc mes avec , ou , ou .

M&eacute thodes

Calculer la d&eacute riv&eacute e d&rsquo une fonction de la forme

On consid&egrave re la fonction d&eacute finie sur par  :

.

Calculer .

Conseils

Les cas particuliers rappel&eacute s ci-dessus sont tr&egrave s importants car ils sont tr&egrave s fr&eacute quents dans les sujets de baccalaur&eacute at. La fonction n&rsquo est pas &agrave consid&eacute rer comme un produit, on utilise plut&ocirc t la formule de d&eacute rivation  :

.

Solution

&Eacute tudier les variations d&rsquo une fonction contenant un  terme  de la forme

&Eacute tudier les variations de d&eacute finie sur par  :

.

Conseils
  • Comme il est tr&egrave s fr&eacute quent de retrouver l&rsquo expression , il est bon de remarquer que  :

si , alors .

  • Lorsqu&rsquo une constante seule figure au d&eacute nominateur, il n&rsquo est pas n&eacute cessaire d&rsquo utiliser la formule de d&eacute rivation d&rsquo un quotient. Ici, on voit le terme comme .
  • Une fois la d&eacute riv&eacute e obtenue, on prend soin de factoriser par le terme . Dans l&rsquo &eacute tude de signes, on profite du fait que celui-ci est toujours strictement positif.
Solution

.

Comme , le signe de est celui de .

  • Si , alors .
  • Si , alors .

est donc croissante sur et d&eacute croissante sur .

R&eacute soudre une in&eacute quation

R&eacute soudre dans l&rsquo in&eacute quation  :

.

Conseils
  • Il est pr&eacute f&eacute rable de rappeler le th&eacute or&egrave me utilis&eacute &agrave chaque d&eacute monstration.
  • Le nombre e peut &ecirc tre utilis&eacute avec les r&egrave gles de calcul en pensant qu&rsquo il s&rsquo agit de e1.
Solution

(1)

Or, on sait que si et sont deux r&eacute els quelconques, alors est &eacute quivalent &agrave . D&rsquo o&ugrave l&rsquo in&eacute quation (1) est &eacute quivalente &agrave   :

.

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