Approfondir la fonction ln

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Fiches
Classe(s) : Tle L - Tle ES | Thème(s) : Fonction logarithme népérien
Corpus Corpus 1
Approfondir la fonction ln

FB_Bac_98616_MatT_LES_021

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Rappels de cours

1Propri&eacute t&eacute s alg&eacute briques

&thinsp La fonction ln transforme les produits en sommes  :

  • pour tous r&eacute els strictement positifs x et y  :&ensp
  • pour tout r&eacute el  strictement positif  x  :&ensp
  • pour tous r&eacute els strictement positifs x et y  :&ensp

&thinsp Pour tout r&eacute el strictement positif x et pour tout entier naturel n  :

2R&eacute solution d&rsquo &eacute quations et d&rsquo in&eacute quations

&thinsp Si a et b sont deux r&eacute els strictement positifs, alors  :

ln&thinsp (a)=  ln&thinsp (b) est &eacute quivalent &agrave a =b.

&thinsp Si a et b sont deux r&eacute els strictement positifs, alors  :

ln&thinsp (a)&lt   ln&thinsp (b) est &eacute quivalent &agrave a &lt b.

remarque  Ces r&eacute sultats sont les m&ecirc mes avec , ou , ou .

M&eacute thodes

Utiliser les propri&eacute t&eacute s

Simplifier l&rsquo expression A =.

Conseils

Commencer par utiliser .

Toujours faire intervenir des puissances, avec la base la plus petite possible. Par exemple, est un meilleur choix que .

Solution

.

Ne pas confondre les propri&eacute t&eacute s de ln et exp

Simplifier , o&ugrave x est un r&eacute el strictement positif.

Conseils

La fonction transforme les produits en sommes, alors que la fonction (&gt fiche19) transforme les sommes en produits. Il convient donc de ne pas confondre les propri&eacute t&eacute s. Par exemple, ne peut pas &ecirc tre simplifi&eacute .

Solution

Pour tout

&Ecirc tre attentif au domaine d&rsquo existence

La fonction est d&eacute finie sur par  :

.

Peut-on &eacute crire  : &laquo   pour tout x dans I,   &raquo   ?

Conseils

Il est tentant de r&eacute pondre par l&rsquo affirmative en invoquant le fait que ln transforme les produits en somme. Cependant, avec ln, on prendra soin de v&eacute rifier que les nombres concern&eacute s sont strictement positifs.

Solution

La proposition est fausse car le membre de droite n&rsquo est pas d&eacute fini pour x n&eacute gatif.

R&eacute soudre une in&eacute quation

R&eacute soudre l&rsquo in&eacute quation .

Conseils

L&rsquo in&eacute quation est d&eacute finie si, et seulement si .

Solution

Le discriminant &Delta du trin&ocirc me est n&eacute gatif et le coefficient devant x2 est 1  : l&rsquo in&eacute quation est d&eacute finie sur .

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