Approfondir la fonction ln

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Fiches
Classe(s) : Tle L - Tle ES | Thème(s) : Fonction logarithme népérien
Corpus Corpus 1
Approfondir la fonction ln

FB_Bac_98616_MatT_LES_021

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Rappels de cours

1Propriétés algébriques

 La fonction ln transforme les produits en sommes :

  • pour tous réels strictement positifs x et y : 
  • pour tout réel strictement positif x : 
  • pour tous réels strictement positifs x et y : 

 Pour tout réel strictement positif x et pour tout entier naturel n :

2Résolution d’équations et d’inéquations

 Si a et b sont deux réels strictement positifs, alors :

ln (a)= ln (b) est équivalent à a =b.

 Si a et b sont deux réels strictement positifs, alors :

ln (a)< ln (b) est équivalent à a <b.

remarque Ces résultats sont les mêmes avec , ou , ou .

Méthodes

Utiliser les propriétés

Simplifier l’expression A =.

Conseils

Commencer par utiliser .

Toujours faire intervenir des puissances, avec la base la plus petite possible. Par exemple, est un meilleur choix que .

Solution

.

Ne pas confondre les propriétés de ln et exp

Simplifier , où x est un réel strictement positif.

Conseils

La fonction transforme les produits en sommes, alors que la fonction (>fiche19) transforme les sommes en produits. Il convient donc de ne pas confondre les propriétés. Par exemple, ne peut pas être simplifié.

Solution

Pour tout

Être attentif au domaine d’existence

La fonction est définie sur par :

.

Peut-on écrire : « pour tout x dans I,  » ?

Conseils

Il est tentant de répondre par l’affirmative en invoquant le fait que ln transforme les produits en somme. Cependant, avec ln, on prendra soin de vérifier que les nombres concernés sont strictement positifs.

Solution

La proposition est fausse car le membre de droite n’est pas défini pour x négatif.

Résoudre une inéquation

Résoudre l’inéquation .

Conseils

L’inéquation est définie si, et seulement si .

Solution

Le discriminant Δ du trinôme est négatif et le coefficient devant x2 est 1 : l’inéquation est définie sur .

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