Approfondir les fonctions affines

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Fiches
Classe(s) : 2de | Thème(s) : Fonctions de référence. Etudes de fonctions


Rappels de cours

1 Fonction affine et courbe représentative

 Une fonction f définie sur est une fonction affine s’il existe des réels a et b tels que, pour tout réel x, on ait : f(x)=ax+b.

À noter ! Si b=0, la fonction est linéaire. Si a=0, la fonction est constante.

exemple f et g définies sur par f(x)=2x+3 et g(x)=4x+1 sont des fonctions affines (a=2 et b=3 pour f ; a=4 et b=1 pour g).

À noter ! Si b=0, la droite passe par l’origine du repère. Si a=0, la droite est parallèle à l’axe des abscisses.

 Dans un repère du plan, la courbe représentative d’une fonction affine est une droite. .

2 Variations et signe d’une fonction affine

Soit f une fonction affine définie sur par f(x)=ax+b. Les variations et le signe de f dépendent du signe de a.

 Si a>0, la fonction f est strictement croissante sur .

02909_F13_tab_01

 Si a<0, la fonction f est strictement décroissante sur .

02909_F13_tab_02

 Si a=0, la fonction f est constante sur .

Son signe est le signe de b.

Remarque : Si a0, la droite qui représente f dans un repère du plan coupe l’axe des abscisses au point de coordonnées (ba;0)

Méthodes

Vérifier qu’un point appartient à une courbe

Les points A(2;7) et B(53;6) appartiennent-ils à la courbe représentative Cf de la fonction affine f:x3x+1 ?

Conseils

Calculez l’image de l’abscisse de chaque point par f. Comparez l’image calculée à l’ordonnée du point correspondant. Concluez.

 

Solution

f(xA)=3×(2)+1=7=yA donc ACf.

f(xB)=3×53+1=5+1=4, f(xB)yB donc BCf.

Étudier les positions relatives de deux courbes

Dans un repère du plan, on considère les courbes Cf1 et Cf2 représentatives des fonctions f1:x2x+4 et f2:xx+1.

Étudier les positions relatives de Cf1 et Cf2.

Conseils

Étudiez le signe de la différence f1(x)f2(x).

 

Solution

Pour tout réel x,f1(x)f2(x)=(2x+4)(x+1)=3x+3.

Or, la fonction x3x+3 est affine (a=3 et b=3).

Comme a=3<0, nous avons :

x

1

+

Signe de – 3x + 3

+

0

02909_F13_01

Sur ];1[, f1(x)f2(x)>0 soit f1(x)>f2(x). Cf1 est ainsi au-dessus de Cf2.

Pour x=1,f1(x)f2(x)=0. Cf1 et Cf2se coupent au point d’abscisse 1.

Sur ]1;+[, f1(x)f2(x)<0 soit f1(x)<f2(x). Cf1 est ainsi en dessous de Cf2.