A Arbres pondérés

EXEMPLE

• On a réalisé une enquête de santé auprès de 10 000 personnes employées dans une grande entreprise. Les résultats figurent dans le tableau suivant.

On prélève au hasard un questionnaire parmi l'ensemble des questionnaires remplis au cours de cette enquête. Tous les questionnaires ont la même probabilité d'être choisis.

On note :

• B l'événement : « La personne correspondante est atteinte de bronchite » et $\overline{B}$ l'événement contraire de B ;

• F l'événement : « La personne correspondante est un fumeur » et $\overline{F}$ l'événement contraire de F.

On déduit immédiatement du tableau que : P(F) = 0,3, donc que $P(\overline{F})=1-P\left(F\right)=\mathrm{0,7}$.

À l'aide de la définition de probabilité conditionnelle et du tableau, on obtient les probabilités conditionnelles suivantes :

P_F(B) = 0,10 ; $P_F(\overline{B})=\mathrm{0,90}$ ; $P_{\overline{F}}(B)=\mathrm{0,02}$ et $P_{\overline{F}}(\overline{B})=\mathrm{0,98}$ ; et les probabilités :

P(F ∩ B) = 0,03 ; $P(F\cap \overline{B})=\mathrm{0,27}$ ; $P(\overline{F}\cap B)=\mathrm{0,014}$ et $P(\overline{F}\cap \overline{B})=\mathrm{0,686}$.

• On appelle arbre pondéré un arbre pour lequel chaque branche est associée à une probabilité comme ci-dessous.

En généralisant ce qu'on observe sur l'arbre pondéré de l'exemple précédent, on obtient les résultats suivants.

Cas général

• Pour chacune des deux étapes, deux branches partent de chaque nœud et la somme des probabilités inscrites sur les branches issues d'un même nœud est égale à 1.

• À la seconde étape, les nombres inscrits sur les branches sont des probabilités conditionnelles.

EXEMPLES

• Sur l'arbre pondéré précédent, on lit : $P\left(B\cap F\right)=P\left(F\right)\times P_F\left(B\right)$ d'après la propriété 2 (de l'encadré ci-dessus).

• En appliquant la propriété 3 (de l'encadré ci-dessus) on obtient, par exemple, dans l'exemple du début du ➃ A :

$P\left(\overline{B}\right)=P\left(\overline{B}\cap F\right)+P\left(\overline{B}\cap F\right),P\left(\overline{B}\right)=\mathrm{0,270}+\mathrm{0,686}=\mathrm{0,956}$.

• Un exemple avec trois branches à la première étape.

On donne l'arbre pondéré suivant :

Formule des probabilités totales

La formule des probabilités totales traduit le résultat 3 ci-dessus qui se généralise à n chemins (ci-dessous n = 3).

Soit A₁, A₂ et A₃ des événements de probabilités non nulles, deux à deux disjoints, dont l'union est l'univers Ω. Pour tout événement B, on a : P(B) = P(B ∩ A₁) + P(B ∩ A₂) + P(B ∩ A₃).

B Événements indépendants

DÉFINITION

Deux événements A et B sont indépendants si et seulement si P(A ∩ B) = P(A) × P(B) ou P_A(B) = P(B).

EXEMPLE

Considérons le tirage au hasard d'une carte d'un jeu de 32 cartes.

L'expression « au hasard » permet de considérer qu'il y a équiprobabilité des 32 événements élémentaires : « tirer l'as de pique », « tirer l'as de cœur »…, « tirer le 7 de trèfle ». Soit A l'événement « tirer un as ».

A a quatre éléments, puisqu'il y a quatre as dans le jeu. Donc $P(A)=\frac{4}{32}=\frac{1}{8}$.

Soit B l'événement « tirer un cœur » : B a huit éléments, puisqu'il y a huit cœurs dans le jeu.

Donc $P(B)=\frac{8}{32}=\frac{1}{4}$.

A ∩ B est l'événement « tirer l'as de cœur » ; $P(A\cap B)=\frac{1}{32}$.

Nous constatons que $P(A)\times P(B)=\frac{1}{8}\times \frac{1}{4}=\frac{1}{32}=P(A\cap B)$. $P(A\cap B)=P(A)\times P(B)$.

Donc, les événements A et B sont indépendants.