Le poids et la force électrique qui interviennent dans les champs de pesanteur et électrique ont des actions similaires et les bilans énergétiques pour le système en mouvement se ressemblent.

I Poids et force électrique : des forces conservatives

Travail du poids (rappel de 1^re). Lorsqu'un système de masse m passe d'un point A d'altitude z_A à un point B d'altitude z_B, le travail du poids est :

W_AB($\overrightarrow{P}$) = mg (z_A − z_B). Ce travail ne dépend pas du chemin suivi. Il correspond à l'opposé de la variation de l'énergie potentielle de pesanteur :

$W_{\text{AB}}(\overrightarrow{P})=-\Delta E_{\text{PP}}.$ Le poids est une force conservative.

Travail de la force électrique. Lorsqu'une particule de charge q passe d'un point A à un point B entre lesquels il existe une tension U_AB, le travail de la force électrique est : W_AB($\overrightarrow{F}$) = q U_AB = q (V_A − V_B).

V_A et V_B sont les potentiels des points A et B. Ce travail ne dépend pas du chemin suivi. Il correspond à l'opposé de la variation de l'énergie potentielle électrique de la particule :

$W_{\text{AB}}(\overrightarrow{F})=-\Delta E_{\text{PE}}.$ La force électrique est une force conservative.

II Conséquence : conservation de l'énergie mécanique

Mouvement dans un champ de pesanteur uniforme (rappel de 1^re). Dans le cas d'une chute libre dans le champ de pesanteur entre deux points A et B, le poids $\overrightarrow{P}$ est la seule force qui s'exerce sur le système. D'après le théorème de l'énergie cinétique : ∆E_C = W_AB(P) = −∆E_PP.

Donc la variation de l'énergie mécanique vaut :

$\Delta E_{\text{M}}=\Delta E_{\text{C}}+\Delta E_{\text{PP}}=0\text{ (énergie mécanique conservée)}$

Mouvement dans un champ électrique uniforme. Dans le cas d'un mouvement dans le champ électrique entre deux points A et B, si la force électrique $\overrightarrow{F}$ est la seule force qui s'exerce sur la particule, alors :

∆E_C = W_AB(F) = −∆E_PE. Donc la variation de l'énergie mécanique vaut :

∆E_M = ∆E_C + ∆E_PE = 0 (énergie mécanique conservée).

Cas d'un système dont l'énergie potentielle diminue au profit de l'énergie cinétique : sa vitesse augmente.

Méthode

Exploiter la conservation de l'énergie mécanique

Dans un canon à électrons, un électron pénètre au point A dans un champ électrique uniforme d'un condensateur plan soumis à une tension électrique U_PN.

On considère que l'électron n'est soumis qu'à la force électrique qui l'accélère entre A et B.

Sa vitesse en A est négligeable devant celle en B.

Données :

masse de l'électron : m = 9,11 × 10⁻³¹ kg ;

charge de l'électron : q = − e = −1,60 × 10⁻¹⁹ C ;

tension : U_PN = 7,50 × 10² V.

a. Écrire le théorème de l'énergie cinétique pour le déplacement de l'électron entre A et B.

b. Comment évolue l'énergie mécanique de l'électron pendant son déplacement ?

c. En déduire la valeur de la vitesse de l'électron au point B.

Conseils

a. Vous devez connaître l'expression du travail de la force électrique.

b. La force électrique est-elle conservative ?

c. Utilisez la conservation de l'énergie mécanique et développer l'expression de l'énergie cinétique pour faire apparaître la vitesse.

Solution

a. En considérant que seule la force électrique agit sur l'électron, la variation d'énergie cinétique de l'électron est égale au travail de cette force entre A et B :

∆E_C = W_AB(F) = qU_AB = − eU_AB (U_AB est la tension électrique entre A et B).

b. L'électron n'est soumis qu'à la force électrique dont le travail ne dépend pas du chemin suivi mais seulement de la position de A et B : c'est donc une force conservative. Donc son énergie mécanique se conserve : elle reste constante.

c. La conservation de l'énergie mécanique s'écrit : E_M(A) = E_M(B).

Soit : ∆E_M = E_M(B) − E_M(A) = 0.

Or, E_M = E_C + E_PE donc : ∆E_M = ∆E_C + ∆E_PE = $\left(\frac{1}{2}m{v}_B^2-\frac{1}{2}m{v}_A^2\right)$ + ∆E_PE

avec v_A = 0 et ∆E_PE = −W_AB(F) = + eU_AB = − eU_PN

∆E_M = $\frac{1}{2}m{v}_B^2$ − eU_PN = 0, on en déduit que $v^2=\frac{2\text{e}{U}_{\text{PN}}}{m}$, soit $v=\sqrt{\frac{2\text{e}{U}_{\text{PN}}}{m}}$.

Application numérique : $v=\sqrt{\frac{2\times \mathrm{1,60}\times {10}^{-19}\times \mathrm{7,50}\times {10}^2}{\mathrm{9,11}\times {10}^{-31}}}=$ 1,62 × 10⁷ m · s⁻¹.