Bâtir des arbres et des tableaux à double entrée

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Fiches
Classe(s) : 3e | Thème(s) : Utiliser les probabilités


Rappels de cours

1 Construire un arbre de probabilité

► Un arbre des possibles est un schéma permettant de représenter les différentes issues d’une expérience aléatoire. Chaque issue est représentée par une branche ou un chemin.

► Si l’on indique sur chaque branche de cet arbre les probabilités associées, on obtient un arbre pondéré.

► La probabilité du résultat auquel conduit un chemin est égale au produit des probabilités rencontrées le long de ce chemin.

2 Construire un tableau à double entrée

Un tableau à double entrée permet de représenter tous les couples de résultats possibles de deux expériences aléatoires simultanées. Les lignes se rapportent à une expérience aléatoire, les colonnes à l’autre.

3 Fréquence et probabilité

Lorsqu’une expérience aléatoire est répétée un très grand nombre de fois, la fréquence de réalisation d’un événement se rapproche de sa probabilité.

Méthodes

Calculer des probabilités à l’aide d’un arbre

On lance une pièce de monnaie trois fois de suite. Si un lancer donne « pile », on note P le résultat obtenu et F s’il donne « face ».

1. Combien existe-t-il d’issues possibles ?

2. Quelle est la probabilité d’obtenir les événements :

a. A : trois fois « pile » ?

b. B : exactement une fois « face » ?

Solution

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1. L’arbre ci-contre indique qu’il existe 8 issues.

2. a. D’après l’arbre, il existe une seule possibilité d’obtenir trois fois « pile » : cela correspond à l’issue (P,P,P). Donc p(A)=18.

b. D’après l’arbre, il existe trois possibilités d’obtenir exactement une fois « face » : (P,P,F), (P,F,P) et (F,P,P). Donc p(B)=38.

Utiliser un tableau à double entrée

Pour pouvoir lancer les dés, le joueur doit s’acquitter d’un droit de participation de 6 euros. Il lance simultanément deux dés cubiques équilibrés (un jaune et un bleu) et empoche, en euros, un gain égal à la somme des points affichés par les dés. On appelle gain final du joueur la différence entre le montant gagné après le lancer des dés et le droit d’entrée. Si la différence est positive, le joueur a gagné ; si elle est négative, il a perdu.

1. Indiquer les différents montants que l’on peut gagner.

2. Calculer la probabilité pour qu’un joueur :

a. réalise un gain final de 4 euros

b. perde à ce jeu

Solution

1. Il existe 36 résultats possibles :

Dé jaune

Dé bleu

1

2

3

4

5

6

1

2

3

4

5

6

7

2

3

4

5

6

7

8

3

4

5

6

7

8

9

4

5

6

7

8

9

10

5

6

7

8

9

10

11

6

7

8

9

10

11

12

2. a. Appelons G l’événement : « le joueur réalise un gain final de 4 euros » (c’est-à-dire après soustraction des droits de participation de 6 euros). Cet événement se réalise quand le joueur obtient 10 points. Il existe 3 résultats favorables, donc p(G)=336=112.

b. Appelons P l’événement : « le joueur perd à ce jeu ». Cet événement se réalise quand le joueur obtient moins de 6 points.

Il existe 10 résultats correspondant à ce cas, donc p(P)=1036=518.