Fiche de révision

Calcul d'intégrales, valeur moyenne

Contenu


Une intégrale se calcule à l'aide des primitives de la fonction que l'on intègre.

I Lien entre intégrale et primitives d'une fonction continue

Théorème fondamental : Si f est une fonction continue sur un intervalle [a ; b], la fonction Fa définie sur [a ; b] par Fax  =  axftdt est la primitive de f qui s'annule en a. 

Conséquence : Soit f une fonction continue sur un intervalle I, et F une primitive de f sur I. Pour tous a et b de I, on a :

abftdt  =  Ftab  =  Fb    Fa

II Linéarité de l'intégrale

Soient f et g des fonctions continues sur un intervalle I. Pour tous a, b de I et pour tout λ réel, on a :

Tableau de 1 lignes, 1 colonnes ;Corps du tableau de 1 lignes ;Ligne 1 :  ∫abft  +  gtdt  =  ∫abftdt  +  ∫abgtdt ∫abλftdt  =  λ∫abftdt;

III Valeur moyenne

Définition : Soit f une fonction continue sur un intervalle [a ; b]. On appelle valeur moyenne de f sur [a ; b] le réel :

μ  =  1b    aabftdt

Interprétation graphique : Pour une fonction ­positive f, la valeur moyenne µ est le réel tel que le rectangle de côtés de mesures µ et (b a) ait la même aire que le domaine délimité par la courbe représentative de f, l'axe des abscisses, et les droites d'équations x = a et x = b.

06462_C06_03

Méthode

Calculer l'aire d'un domaine limité par deux courbes

On considère les fonctions f et g ­définies sur ]0 ; + ∞[par fx = x  2 + lnxx et g(x) = − 2.

On note C et C′ leurs courbes respectives dans un repère orthogonal d'unités graphiques 2 cm sur l'axe des abscisses et 1 cm sur l'axe des ordonnées.

Calculer l'aire en cm2, du domaine D du plan limité par les courbes C, C′ et les droites d'équation x  =  1e et x = 2.

06462_C06_04

conseils

Étape 1 Cherchez le signe de la fonction f g sur l'intervalle 1e  ;  2.

Étape 2 Découpez 1e  ;  2 en intervalles sur lesquels le signe de f g est constant. L'aire de chacun des domaines ainsi délimités est égale à l'intégrale de − g si − g est positive, et à l'opposé de l'intégrale de f g si f g est négative.

L'aire de D (en u.a.) est alors la somme de l'aire de chacun des domaines.

Étape 3 Convertissez le résultat précédent en cm2.

solution

Étape 1 Pour tout x > 0, on a f(x)    g(x)  =  lnxx  0x  1.

Donc f g est négative sur 1e  ;  1, positive sur [1 ; 2].

Étape 2 On a A  =  A1  +  A2  =  1e1(lntt)dt  +  12(lntt)dt. Or une primitive de tlntt, fonction de la forme uu avec u(t) = lnt, est t12lnt2. Donc

A  =  12lnt21e1  +  12lnt212  =  12ln1e2  +  12ln22  =  12  +  ln222u.a.

Étape 3 On a 1 u.a. = 1 × 2 cm2 = 2 cm2. Donc A = 1 + (ln2)2 cm2.

Accéder à tous les contenus
dès 6,79€/mois

  • Les dernières annales corrigées et expliquées
  • Des fiches de cours et cours vidéo/audio
  • Des conseils et méthodes pour réussir ses examens
  • Pas de publicités
S'abonner