Calcul des probabilités

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Classe(s) : Tle ST2S - Tle STI2D - Tle STL - Tle STMG | Thème(s) : Probabilités

La probabilité d’un événement A d’un univers fini Ω est la somme des probabilités des événements élémentaires qui constituent A. La probabilité de Ω est 1.

Pour tout événement A, 0 ≤ P(A) ≤ 1.

L’équiprobabilité correspond au cas où tous les événements élémentaires ont la même probabilité.

Dans ce cas, la probabilité d’un événement élémentaire est : 1nombre d’éléments de Ω

et pour tout événement A,

P(A)=nombre d’éléments de Anombre d’éléments de Ω=nombre de cas favorablesnombre de cas possibles.

Pour tous événements disjoints A, B, P(A B) = P(A) + P(B).

Pour tout événement A, P(A¯)=1P(A). En particulier P(Ø) = 0.

Pour tous événements A, B, P(A B) = P(A) + P(B) – P(A B).

EXEMPLE

Une enquête, concernant l’hygiène alimentaire, a été réalisée sur un échantillon de 800 personnes. Les personnes sont réparties en trois groupes.

Type 1 : les végétariens ; type 2 : les végétariens qui mangent néanmoins du poisson ; type 3 : les non-végétariens. La répartition des personnes est donnée dans le tableau suivant.

Tableau de 4 lignes, 5 colonnes ;Tetière de 1 lignes ;Ligne 1 : ;Type 1;Type 2;Type 3;Total;Corps du tableau de 3 lignes ;Ligne 1 : Femmes; 22; 105; 313; 440; Ligne 2 : Hommes; 12; 27; 321; 360; Ligne 3 : Total; 34; 132; 634; 800;

On choisit, au hasard, une des 800 personnes de l’échantillon, chacune ayant la même probabilité d’être choisie. On définit les événements suivants :

A : « La personne choisie est non végétarienne » ;

B : « La personne choisie est un homme ».

Il y a équiprobabilité des tirages donc, d’après un résultat rappelé ci-dessus, P(A)=634800 ;

P(A) = 0,7925 ; P(B)=360800 ; P(B) = 0,45.

AB est l’événement : « La personne choisie est un homme non végétarien ».

P(AB)=321800=0,40125.

AB est l’événement : « La personne choisie est non végétarienne ou est un homme ».

P(AB) = P(A) + P(B) – P(AB) ; P(AB) = 0,79250 + 0,45000 – 0,40125 ;

P(AB) = 0,84125.

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