Calcul littéral : addition et soustraction

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Fiches
Classe(s) : 2de | Thème(s) : Calcul littéral et équations


Pour mener un calcul littéral ou numérique, il faut savoir ­effectuer correctement les quatre opérations élémentaires, notamment avec des fractions, avec ou sans parenthèses.

I Addition

Dans une suite d’additions, on peut changer l’ordre des termes (on dit que l’addition est commutative) et supprimer les parenthèses comme on veut (on dit que l’addition est associative).

Exemple : 6x+(7+2x)=6x+7+2x=6x+2x+7=8x+7

Pour additionner deux fractions, il suffit de les réduire au même dénominateur. Sans tenir compte d’autres dénominateurs communs éventuellement plus simples, sachant que b ≠ 0 et d ≠ 0, on a :

ab+cd=ad+bcbd

II Soustraction

La soustraction se définit par rapport à l’addition. Soustraire le nombre b revient à additionner son opposé.

a b = a + (– b)

mot clé

b est l’opposé de b.

La soustraction est une opération moins aisée que l’addition :

• elle n’est pas commutative : en général, a b b – a ;

• elle n’est pas associative : en général, a – (b – c) ≠ (a b) – c.

Lorsqu’on supprime des parenthèses précédées du signe « moins », on doit changer les signes des additions et des soustractions (et seulement ces signes-là). Ainsi, les additions sont transformées en soustractions et les soustractions en additions :

(a+b+c)=abc (a+bc)=ab+c

(ab+c)=a+bc (abc)=a+b+c

Exemple : [3x(1)](6+x)=3x+(1)(6)x

à NOTER

Attention ! Le nombre –x n’est pas nécessairement négatif. Si x = –2 alors –x = 2.

= –3x – 1 + 6 – x

= –4x + 5

Méthode

1 Additionner et soustraire des fractions littérales

Soit x un nombre différent de 0 et de –1.

a. Démontrer que l’on a :

1x+1x+1=2x+1x(x+1) et 1x+3x+1=2x1x(x+1)

b. Pourquoi précise-t‑on que x doit être différent de 0 et de –1 ?

conseils

a. Trouvez un dénominateur commun aux deux fractions à additionner.

solution

a. Le dénominateur commun est x(x + 1).

1x+1x+1=1(x+1)x(x+1)+1xx(x+1)=x+1+xx(x+1)=2x+1x(x+1)

1x+3x+1=(x+1)+3xx(x+1)=x1+3xx(x+1)=2x1x(x+1)

b. Un quotient n’existe que si son dénominateur est différent de 0.

Si x = 0, le quotient 1x n’existe pas.

De même, si x = –1 alors x + 1 = 0 et donc le quotient 1x+1 n’existe pas.

2 Gérer le signe « moins »

Réduire les expressions suivantes et les écrire sans parenthèses :

a. 3x – 1 – (5x – 7)

b. –(–6x – 7) – (1 – 5x)

c. (4 – x) + (–2 + 5x) – (–x + 1)

conseils

Lorsque le signe « plus » précède des parenthèses, on peut supprimer les parenthèses sans rien changer.

solution

a. 3x – 1 – (5x – 7) = 3x – 1 – 5x + 7 = – 2x + 6

b. (6x7)(15x)=(6x)+71+5x=6x+71+5x=11x+6.

c. (4x)+(2+5x)(x+1)=4x+(2)+5x(x)1=4x2+5x+x1=5x+1

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