Seconde Mathématiques Calcul littéral et équations

Examinons les techniques de calcul littéral relatives à la multiplication et la division, liées aux calculs sur les exposants.

I Multiplication et division

1 Multiplication

Tout comme l'addition, la multiplication est une opération commutative et associative :

ab = ba et a(bc) = (ab)c

Pour multiplier des fractions entre elles, il suffit de multiplier les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux.

À noter

Rappelez-vous que $a \times \frac{c}{d} = \frac{a}{1} \times \frac{c}{d} = \frac{a c}{d} .$

$\frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{a c}{b d}$

2 Division

À noter

Un nombre et son inverse ont le même signe.

La division se définit par rapport à la multiplication. Diviser par y revient à multiplier par son inverse (noté $\frac{1}{y}$ ). Pour tous nombres x et y, avec y ≠ 0, on a :

$x \div y = x \times \frac{1}{y}$

Remarque : 0 est le seul nombre à n'avoir pas d'inverse.

La division n'est pas associative.

En général on a : a ÷ (b ÷ c) ≠ (a ÷ b) ÷ c.

II Puissances

À noter

Pour tout réel a, a0 = 1 et a1 = a.

On considère deux nombres a et b et deux entiers relatifs m et n. Alors, lorsque les opérations décrites ne conduisent pas à une division par 0 :

an × an = am + n $\frac{a^{n}}{a^{m}} = a^{n - m}$ (an)m = anm (ab)n = anbn ${(\frac{a}{b})}^{n} = \frac{a^{n}}{b^{n}}$

Si a est un nombre non nul et n un entier relatif, on a :

$a^{- 1} = \frac{1}{a}$ et $a^{- n} = \frac{1}{a^{n}} = {(\frac{1}{a})}^{n}$

Méthodes

1 Simplifier des fractions littérales

Soit a et b deux réels non nuls et non opposés. Simplifier : A = $\frac{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}}{1 + \frac{a}{b}}$ .

conseils

Commencez par réduire le numérateur d'une part et le dénominateur d'autre part sous forme d'une seule fraction. Puis utilisez la multiplication par l'inverse.

solution

A = $\frac{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}}{1 + \frac{a}{b}} = \frac{\frac{b}{a b} + \frac{a}{a b}}{\frac{b}{b} + \frac{a}{b}} = \frac{\frac{b + a}{a b}}{\frac{b + a}{b}} = \frac{b + a}{a b} \times \frac{b}{a + b} = \frac{(a + b) b}{a b (a + b)} = \frac{1}{a} .$

2 Simplifier une expression littérale

Soit a, b, c trois réels non nuls vérifiant l'égalité ab + bc + ca = 0.

a. Démontrer que $\frac{b}{c} + \frac{b}{a} = - 1$ , puis que $\frac{c}{a} + \frac{c}{b} = - 1$ et $\frac{a}{b} + \frac{a}{c} = - 1$ .

b. En déduire la valeur de $\frac{b + c}{a} + \frac{c + a}{b} + \frac{a + b}{c}$ .

conseils

a. Divisez les deux membres de ab + bc + ca = 0 par ca, puis par ab, puis par bc.

b. Commencez par décomposer chacune des trois fractions en deux.

solution

a. En divisant ab + bc + ca = 0 par ac, on trouve : $\frac{a b + b c + c a}{a c} = \frac{0}{a c} \Leftrightarrow \frac{a b}{a c} + \frac{b c}{a c} + \frac{c a}{a c} = 0 \Leftrightarrow \frac{b}{c} + \frac{b}{a} + 1 = 0 \Leftrightarrow \frac{b}{c} + \frac{b}{a} = - 1$

En divisant ab + bc + ca = 0 par ab, on trouve de même $\frac{c}{a} + \frac{c}{b} = - 1$ .

En divisant ab + bc + ca = 0 par bc, on trouve $\frac{a}{b} + \frac{a}{c} = - 1$ .

b. $\frac{b + c}{a} + \frac{c + a}{b} + \frac{a + b}{c} = \frac{b}{a} + \frac{c}{a} + \frac{c}{b} + \frac{a}{b} + \frac{a}{c} + \frac{b}{c} = (\frac{b}{a} + \frac{b}{c}) + (\frac{c}{a} + \frac{c}{b}) + (\frac{a}{b} + \frac{a}{c})$

Donc d'après les égalités trouvées à la question a : $\frac{b + c}{a} + \frac{c + a}{b} + \frac{a + b}{c} = - 3$ .

Calcul littéral : multiplication, division et puissances

I Multiplication et division

1 Multiplication

2 Division

II Puissances

1 Simplifier des fractions littérales

2 Simplifier une expression littérale

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