Calcul littéral : multiplication, division et puissances

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Classe(s) : 2de | Thème(s) : Calcul littéral et équations


Examinons les techniques de calcul littéral relatives à la multiplication et la division, liées aux calculs sur les exposants.

I Multiplication et division

1 Multiplication

Tout comme l’addition, la multiplication est une opération commutative et associative :

ab = ba et a(bc) = (ab)c

Pour multiplier des fractions entre elles, il suffit de multiplier les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux.

À noter

Rappelez-vous que a×cd=a1×cd=acd.

ab×cd=acbd

2 Division

À noter

Un nombre et son inverse ont le même signe.

La division se définit par rapport à la multiplication. Diviser par y revient à multiplier par son inverse (noté 1y). Pour tous nombres x et y, avec y ≠ 0, on a :

x÷y=x×1y

Remarque : 0 est le seul nombre à n’avoir pas d’inverse.

La division n’est pas associative.

En général on a : a ÷ (b ÷ c) ≠ (a ÷ b) ÷ c.

II Puissances

À noter

Pour tout réel a, a0 = 1 et a1a.

On considère deux nombres a et b et deux entiers ­relatifs m et n. Alors, lorsque les opérations décrites ne conduisent pas à une division par 0 :

an × an = am + n  anam=anm  (an)m = anm  (ab)n = anbn  (ab)n=anbn

Si a est un nombre non nul et n un entier relatif, on a :

a1=1a  et  an=1an=(1a)n

Méthodes

1 Simplifier des fractions littérales

Soit a et b deux réels non nuls et non opposés. Simplifier : A = 1a+1b1+ab.

conseils

Commencez par ­réduire le numérateur d’une part et le dénominateur d’autre part sous forme d’une seule fraction. Puis utilisez la multiplication par l’inverse.

solution

A = 1a+1b1+ab=bab+aabbb+ab=b+aabb+ab=b+aab×ba+b=(a+b)bab(a+b)=1a.

2 Simplifier une expression littérale

Soit a, b, c trois réels non nuls vérifiant l’égalité ab + bc + ca = 0.

a. Démontrer que bc+ba=1, puis que ca+cb=1 et ab+ac=1.

b. En déduire la valeur de b+ca+c+ab+a+bc.

conseils

a. Divisez les deux membres de abbcca = 0 par ca, puis par ab, puis par bc.

b. Commencez par décomposer chacune des trois fractions en deux.

solution

a. En divisant abbcca = 0 par ac, on trouve :ab+bc+caac=0acabac+bcac+caac=0bc+ba+1=0bc+ba=1

En divisant abbcca = 0 par ab, on trouve de même ca+cb=1.

En divisant abbcca = 0 par bc, on trouve ab+ac=1.

b. b+ca+c+ab+a+bc=ba+ca+cb+ab+ac+bc=(ba+bc)+(ca+cb)+(ab+ac)

Donc d’après les égalités trouvées à la question a : b+ca+c+ab+a+bc=3.

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