Première générale Maths (tronc commun) Calculs, lectures graphiques et traitements de données

Dans les problèmes, les données numériques peuvent se présenter sous différentes formes qu’il faut savoir transformer.

INombres en écriture fractionnaire

Soit a, b, c et d quatre nombres entiers, avec $b \neq 0$ et $d \neq 0 .$

Si $a d = b c$ , alors $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ , et réciproquement.

Soit a et b deux nombres entiers, avec $b \neq 0$ . Pour tout entier non nul k :

$\frac{k \times a}{k \times b} = \frac{a}{b}$

Soit a, b, c et d quatre nombres entiers, avec $b \neq 0$ , $c \neq 0$ et $d \neq 0 .$

$• \frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{a d + c b}{b d} • \frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{a c}{b d} • \frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}} = \frac{a}{b} \times \frac{d}{c} = \frac{a d}{b c}$

IIPuissances

a et b sont deux nombres réels ; m et n sont deux nombres entiers.

$• a^{- n} = \frac{1}{a^{n}} • a^{m} \times a^{n} = a^{m + n} • \frac{a^{m}}{a^{n}} = a^{m - n}$

$• {(a^{m})}^{n} = a^{m n} • {(a b)}^{n} = a^{n} \times b^{n} • {(\frac{a}{b})}^{n} = \frac{a^{n}}{b^{n}}$

Pour tout nombre réel a non nul : $a^{0} = 1$ .

Puissances de 10 : Soit n un entier naturel non nul :

$• 10^{n} = 1 \underset{n zéros}{\underset{︸}{00 \dots 0}} • 10^{- n} = 0, \underset{(n - 1) zéros}{\underset{︸}{00 \dots 0}} 1$

Un nombre décimal positif x peut être écrit en notation scientifique sous la forme $x = a \times 10^{n}$ , où a est un nombre décimal tel que $1 \leq a < 10$ et n un entier.

IIIRacines carrées

Définition : Soit a un nombre réel positif. La racine carrée de a, notée $\sqrt{a}$ , est le nombre réel positif dont le carré est a. $\sqrt{a} \geq 0$ et ${(\sqrt{a})}^{2} = a$ .

Soit a et b deux réels positifs.

$• \sqrt{a b} = \sqrt{a} \times \sqrt{b} • \sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} si b \neq 0$

Méthodes

1 Transformer l’écriture d’un nombre

a. Calculer le nombre $A = \frac{7}{15} - \frac{4}{15} \times \frac{5}{8}$ ; donner le résultat sous la forme d’une fraction irréductible.

b. Soit $B = \frac{16 \times 10^{- 1} \times 2}{{(10^{3})}^{2} \times 10^{- 8} \times 80}$ . Montrer que B est un nombre entier.

c. Donner l’écriture en notation scientifique du nombre $C = \frac{6 \times 10^{- 7} \times 15 \times 10^{11}}{8 \times {(10^{2})}^{4}}$ .

d. Soit $D = 2 \sqrt{180} + 5 \sqrt{80} - 3 \sqrt{125}$ . Écrire D sous la forme $a \sqrt{5}$ , où a est un nombre entier.

Conseils

Utilisez les opérations sur les fractions et les propriétés des puissances pour calculer.

Utilisez la propriété du produit de racines carrées pour factoriser.

Solution

a. On simplifie le deuxième terme par 5 et par 4 : $A = \frac{7}{15} - \frac{1}{3} \times \frac{1}{2} = \frac{7}{15} - \frac{1}{6}$ .

$30 = 15 \times 2$ et $30 = 6 \times 5$ , donc $A = \frac{7 \times 2}{15 \times 2} - \frac{1 \times 5}{6 \times 5} = \frac{14}{30} - \frac{5}{30} = \frac{9}{30} = \frac{3}{10}$ .

b. $B = \frac{16 \times 2}{80} \times \frac{10^{- 1}}{10^{6} \times 10^{- 8}} = \frac{2}{5} \times 10^{1} = 4$ .

c. $C = \frac{90 \times 10^{4}}{8 \times 10^{8}} = 11,25 \times 10^{- 4} = 1,125 \times 1 0^{- 3}$ .

d. $D = 2 \sqrt{36 \times 5} + 5 \sqrt{16 \times 5} - 3 \sqrt{25 \times 5}$

$D = 2 \times 6 \sqrt{5} + 5 \times 4 \sqrt{5} - 3 \times 5 \sqrt{5} = 12 \sqrt{5} + 20 \sqrt{5} - 15 \sqrt{5} = 17 \sqrt{5}$ .

2 Calculer avec des grandeurs en notation scientifique

La distance moyenne de la Terre à la planète Neptune est environ 4,4 milliards de km. La vitesse de la lumière est environ 3 × 10⁸ m · s^-1. Quel est le temps, en heures, mis par la lumière pour atteindre Neptune depuis la Terre ?

Conseils

Il faut convertir la distance en mètres et la durée en heures.

Solution

Si d est la distance parcourue, v la vitesse moyenne et t le temps de parcours, alors $d = v t$ , d’où $t = \frac{d}{v}$ . La distance moyenne de la Terre à Neptune est $4,4 \times 10^{9}$ km, soit $4,4 \times 10^{12}$ m. Le temps, en secondes, mis par la lumière pour atteindre Neptune depuis la Terre est donc $\frac{4,4 \times 10^{12}}{3 \times 10^{8}}$ , soit environ 14 667 secondes. On convertit en heures : $\frac{14 667}{3 600} \approx 4,1$ . De la Terre, la lumière met donc environ 4,1 heures pour atteindre Neptune.

Calcul numérique

INombres en écriture fractionnaire

IIPuissances

IIIRacines carrées

Méthodes

1 Transformer l’écriture d’un nombre

Conseils

Solution

2 Calculer avec des grandeurs en notation scientifique

Conseils

Solution

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