Calcul vectoriel dans l'espace (1re)

Tous les résultats donnés dans le plan s'étendent à l'espace.

L'espace est muni d'un repère orthonormé (O ; $\overrightarrow{i}$, $\overrightarrow{j}$, $\overrightarrow{k}$).

Si A(x_A, y_A, z_A) et B(x_B, y_B, z_B), alors $\overrightarrow{AB}(x_B–x_A,y_B–y_A,z_B–z_A)$.

Si $\overrightarrow{u}(x,y,z)$, $‖\overrightarrow{u}‖=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$.

Si A(x_A, y_A, z_A) et B(x_B, y_B, z_B), alors $‖\overrightarrow{AB}‖=AB=\sqrt{{(x_B–x_A)}^2+{(y_B–y_A)}^2+{(z_B–z_A)}^2}$.

EXEMPLE

L'espace est muni du repère orthonormé (O ; $\overrightarrow{i}$, $\overrightarrow{j}$, $\overrightarrow{k}$).

On donne les points A, B, C, H de coordonnées respec­tives (0, 15, 0) ; (– 13 ; – 7,5 ; 0) ; (13 ; – 7,5 ; 0) et (0, 0, 40).

 Les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{BH}$ sont :

(0 – (– 13) ; 0 – (– 7,5) ; 40 – 0) ; $\overrightarrow{BH}(13;\mathrm{7,5};40)$.

Les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{CH}$ sont :

(0 – 13 ; 0 – (– 7,5) ; 40 – 0) ; $\overrightarrow{CH}(–13;\mathrm{7,5};40)$.

 $‖\overrightarrow{BH}‖=BH=\sqrt{{13}^2+{\mathrm{7,5}}^2+{40}^2}=\sqrt{1\mathrm{825,25}}$.

$‖\overrightarrow{CH}‖=CH=\sqrt{{(–13)}^2+{\mathrm{7,5}}^2+{40}^2}=\sqrt{1\mathrm{825,25}}$.

CH = BH. Le triangle CBH est isocèle.